Cpp环境【CQYZOJ1836】【Code[VS]5230】猴子

【问题描述】

　　一只猴子找到了很多香蕉树，这些香蕉树都种在同一直线上，而猴子则在这排香蕉树的第一棵树上。这只猴子当然想吃尽量多的香蕉，但它又不想在地上走，只想从一棵树跳到另一棵树上.同时猴子的体力有限，它不能一次跳得太远或跳得次数太多，每当他跳到一棵树上，就会把那棵树上的香蕉都吃掉。那么，它最多能吃多少个香蕉呢？

【输入格式】

　　输入第一行为三个整数，分别是香蕉树的棵数N,猴子每次跳跃的最大距离D，最多跳跃次数M.

　　下面N行每行包括两个整数，ai,bi分别表示每棵香蕉树上的香蕉数，以及这棵树到猴子所在树的距离。输入保证这些树按照从近到远排列，并且没有两棵树在同一位置。b0总是为0 .

【输出格式】

　　输出只有一行，包含一个整数，为猴子最多能吃到的香蕉数。

【输入样例】

5 5 2

6 0

8 3

4 5

6 7

9 10

【输出样例】

20

【数据范围】

ai<=10000,d<=10000

对于30%的数据，有M<=N<=10,bi<=100

对于50%的数据，有M<=N<=30,bi<=1000

对于100%的数据，有M<=N<=100,bi<=10000

【来源】

三校联考试题

Code[VS]5230 原题传送矩阵

重庆一中题库 原题传送矩阵

【思路梳理】

　　DP水题，非常简单，也比较适合给刚刚入门的OIer练手，熟悉一下考场上比较简单的动态规划题目。

　　首先考虑直接粗暴的回溯算法，预期得分30分，因为要跳至多m次（至少则是0次），每次可能的方案数至多为n，所以时间复杂度不稳定，最坏为

（并没有那么大）：

void solve(int jump_time,int tot,int id)
{//jump_time为当前已经跳过了的次数，tot为总收益，id为当前所处的位置
if(jump_time>m || id>=n)//体力耗尽或者走到终点两种情况都是回溯出口
{
ans=max(ans,tot);//择优
return;
}

for(int i=id+1;i<=n;i++)if(dist[i]-dist[id]<=d)//寻找在编号为id的树的后面的树i使得猴子能够从id跳到i。
solve(jump_time+1,tot+weight[i],i);

ans=max(ans,tot);//需要注意的是，猴子可能在第id棵树已经无法跳到第id+1棵树。
}

考虑动态规划：

当前状态怎么转移过来？从最优的上一次跳跃的终点转移过来。

最优的上一次跳跃的终点怎么找？找能够跳到当前树的所有树中权值和最优的。

当前状态怎么变化？收益要加上这一棵树上的所有果实数。

由此可以写出：

状态函数：f(i,j)=猴子经过i次跳跃到达第j棵树时最多能够吃到的香蕉数

状态转移方程：f(i,j)={max(f(i-1,k)+weight[j] | i-1<=k && dist[j]-dist[k]<=D}

时间复杂度远小于

（因为随着第一重循环次数增加，第二重循环的j循环的范围在缩小,k始终在i-1~j这个区间内）。

【Cpp代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define maxn 105
using namespace std;
int n,D,m,weight[maxn],dist[maxn],ans=0;
int d[maxn][maxn];

void dp()
{
//f(i,j)=猴子经过i次跳跃到达第j棵树时最多能够吃到的香蕉数
memset(d,-1,sizeof(d));
//f(i,j)={max(f(i-1,k)+weight[j] | i-1<=k && dist[j]-dist[k]<=D}

d[0][1]=ans=weight[1];//边界：跳跃0次，猴子处于第一棵树

for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=i;j<=n;j++)if(dist[j]<=i*D && dist[j]>=i)
{//每一次必须要往前面跳，意味着如果猴子能跳到下棵树就至少要往前跳1棵树;总共跳了i次，起点是1，那么至少要在i+1棵树的位置；
//同样基于上面的原理，那么最少dist[j]要大于等于i（每一次往前跳1），且小于等于i*D(每一次都往前跳到最远）
int t=-1;
for(int k=j-1;k>=i;k--)if(dist[j]-dist[k]<=D && d[i-1][k]!=-1)
{//d[i-1][k]!=-1，如果第i-1次跳跃不能够到达k那么也不可能在第i次从k跳到j
t=max(t,d[i-1][k]);
}

if(t!=-1)   d[i][j]=t+weight[j];//猴子能从至少一棵树在第i次跳跃中跳到j
ans=max(ans,d[i][j]);//随时都有可能无法再往前跳了，所以每一次填表都应该记录
}
cout<<ans;
}

int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&D,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%d%d",&weight[i],&dist[i]);

dp();
return 0;
}