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逆元详解

2016-08-07 09:34 447 查看

今天我们来探讨逆元在ACM-ICPC竞赛中的应用，逆元是一个很重要的概念，必须学会使用它。

对于正整数

和

，如果有

，那么把这个同余方程中

的最小正整数解叫做

模

的逆元。

逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果

为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为

。

推导过程如下

求现在来看一个逆元最常见问题，求如下表达式的值（已知

）

当然这个经典的问题有很多方法，最常见的就是扩展欧几里得，如果

是素数，还可以用费马小定理。

但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求

与

互素。实际上我们还有一

种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下

现在我们来证明它，已知

，证明步骤如下

接下来来实战一下，看几个关于逆元的题目。

题目：http://poj.org/problem?id=1845

题意：给定两个正整数

和

，求

的所有因子和对9901取余后的值。

分析：很容易知道，先把

分解得到

，那么得到

，那么

的所有因子和的表达式如下

所以我们有两种做法。第一种做法是二分求等比数列之和。

代码：

[cpp] view
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#include <iostream>

#include <string.h>

#include <stdio.h>



using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 10005;

const int MOD = 9901;



bool prime
;

int p
;

int cnt;



void isprime()

{

    cnt = 0;

    memset(prime,true,sizeof(prime));

    for(int i=2; i<N; i++)

    {

        if(prime[i])

        {

            p[cnt++] = i;

            for(int j=i+i; j<N; j+=i)

                prime[j] = false;

        }

    }

}



LL power(LL a,LL b)

{

    LL ans = 1;

    a %= MOD;

    while(b)

    {

        if(b & 1)

        {

            ans = ans * a % MOD;

            b--;

        }

        b >>= 1;

        a = a * a % MOD;

    }

    return ans;

}



LL sum(LL a,LL n)

{

    if(n == 0) return 1;

    LL t = sum(a,(n-1)/2);

    if(n & 1)

    {

        LL cur = power(a,(n+1)/2);

        t = (t + t % MOD * cur % MOD) % MOD;

    }

    else

    {

        LL cur = power(a,(n+1)/2);

        t = (t + t % MOD * cur % MOD) % MOD;

        t = (t + power(a,n)) % MOD;

    }

    return t;

}



void Solve(LL A,LL B)

{

    LL ans = 1;

    for(int i=0; p[i]*p[i] <= A; i++)

    {

        if(A % p[i] == 0)

        {

            int num = 0;

            while(A % p[i] == 0)

            {

                num++;

                A /= p[i];

            }

            ans *= sum(p[i],num*B) % MOD;

            ans %= MOD;

        }

    }

    if(A > 1)

    {

        ans *= sum(A,B) % MOD;

        ans %= MOD;

    }

    cout<<ans<<endl;

}



int main()

{

    LL A,B;

    isprime();

    while(cin>>A>>B)

        Solve(A,B);

    return 0;

}

第二种方法就是用等比数列求和公式，但是要用逆元。用如下公式即可

因为

可能会很大，超过int范围，所以在快速幂时要二分乘法。

代码：

[cpp] view
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#include <iostream>

#include <string.h>

#include <stdio.h>



using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 10005;

const int MOD = 9901;



bool prime
;

int p
;

int cnt;



void isprime()

{

    cnt = 0;

    memset(prime,true,sizeof(prime));

    for(int i=2; i<N; i++)

    {

        if(prime[i])

        {

            p[cnt++] = i;

            for(int j=i+i; j<N; j+=i)

                prime[j] = false;

        }

    }

}



LL multi(LL a,LL b,LL m)

{

    LL ans = 0;

    a %= m;

    while(b)

    {

        if(b & 1)

        {

            ans = (ans + a) % m;

            b--;

        }

        b >>= 1;

        a = (a + a) % m;

    }

    return ans;

}



LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)

{

    LL ans = 1;

    a %= m;

    while(b)

    {

        if(b & 1)

        {

            ans = multi(ans,a,m);

            b--;

        }

        b >>= 1;

        a = multi(a,a,m);

    }

    return ans;

}



void Solve(LL A,LL B)

{

    LL ans = 1;

    for(int i=0; p[i]*p[i] <= A; i++)

    {

        if(A % p[i] == 0)

        {

            int num = 0;

            while(A % p[i] == 0)

            {

                num++;

                A /= p[i];

            }

            LL M = (p[i] - 1) * MOD;

            ans *= (quick_mod(p[i],num*B+1,M) + M - 1) / (p[i] - 1);

            ans %= MOD;

        }

    }

    if(A > 1)

    {

        LL M = MOD * (A - 1);

        ans *= (quick_mod(A,B+1,M) + M - 1) / (A - 1);

        ans %= MOD;

    }

    cout<<ans<<endl;

}



int main()

{

    LL A,B;

    isprime();

    while(cin>>A>>B)

        Solve(A,B);

    return 0;

}

其实有些题需要用到

模

的所有逆元，这里

为奇质数。那么如果用快速幂求时间复杂度为

，

如果对于一个1000000级别的素数

，这样做的时间复杂度是很高了。实际上有

的算法，有一个递推式如下

它的推导过程如下，设

，那么

对上式两边同时除

，进一步得到

再把

和

替换掉，最终得到

初始化

，这样就可以通过递推法求出

模奇素数

的所有逆元了。

另外

模

的所有逆元值对应

中所有的数，比如

，那么

对应的逆元是

。

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2186

题意：求

中

互质的数的个数，其中

。

分析：因为

，所以

，我们很容易知道如下结论

对于两个正整数

和

，如果

是

的倍数，那么

中与

互素的数的个数为

本结论是很好证明的，因为

中与

互素的个数为

，又知道

，所以

结论成立。那么对于本题，答案就是

其中

为小于等于

的所有素数，先筛选出来即可。由于最终答案对一个质数取模，所以要用逆元，这里

求逆元就有技巧了，用刚刚介绍的递推法预处理，否则会TLE的。

代码：

[cpp] view
plain copy

#include <iostream>

#include <string.h>

#include <stdio.h>

#include <bitset>



using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 10000005;



bitset<N> prime;



void isprime()

{

    prime.set();

    for(int i=2; i<N; i++)

    {

        if(prime[i])

        {

            for(int j=i+i; j<N; j+=i)

                prime[j] = false;

        }

    }

}



LL ans1
,ans2
;

LL inv
;



int main()

{

    isprime();

    int MOD,m,n,T;

    scanf("%d%d",&T,&MOD);

    ans1[0] = 1;

    for(int i=1; i<N; i++)

        ans1[i] = ans1[i-1] * i % MOD;

    inv[1] = 1;

    for(int i=2;i<N;i++)

    {

        if(i >= MOD) break;

        inv[i] = (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;

    }

    ans2[1] = 1;

    for(int i=2; i<N; i++)

    {

        if(prime[i])

        {

            ans2[i] = ans2[i-1] * (i - 1) % MOD;

            ans2[i] = ans2[i] * inv[i % MOD] % MOD;

        }

        else

        {

            ans2[i] = ans2[i-1];

        }

    }

    while(T--)

    {

        scanf("%d%d",&n,&m);

        LL ans = ans1
* ans2[m] % MOD;

        printf("%lld\n",ans);

    }

    return 0;

}

接下来还有一个关于逆元的有意思的题目，描述如下