[算法学习笔记]动态规划之钢条切割问题

问题描述

有一个长度为n的钢条需要切割成短钢条出售，长度不同的钢条售价也不同，如下：

长度i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格p[i]	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

那么怎么切割才能获得最大利益呢

暴力解决思路

只要列出每种切割方案，然后比较一下哪种切割方案利润最大不就可以了吗（手动滑稽

假设有一个长度为4的钢条，那么有一下四中切割方案

编号	切割方案	利润
①	■■■■	9
②	■■■，■	9
③	■■，■■	10
④	■■，■，■	6
⑤	■，■，■，■	4

发现当钢条长度为4时，切割成两个长度为2的短钢条利润最大。而且当切割钢条时，若切割完成后的钢条长度小于等于1的话，则可以把这个钢条看成规模更小的相同问题，用同样的方法先求出这个短钢条的最大利润，然后比较所有组合的利润，构成原问题的解。

钢条切割问题满足最优子结构的性质：问题的最优解由相关问题的最优解组合而成，而这些子问题可以独立求解。

通过递归的求解方式可以写出简单的求解程序：从钢条的左边切割下一段长度为i的短钢条，然后右边为长度就为n-i的短钢条，然后对右边继续递归求解，知道右边的长度为0，则返回零。

#include <stdio.h>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define INF 0x7fffff;

// 不同长度钢条的价格
int p[11] = {
0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30
};

int cutROd(int p[], int n){
int i, q;
if(n == 0)
return 0;
q = -INF;
for(i = 1; i <= n; i++){
q = max(q, p[i] + cutROd(p, n - i));
}

return q;
}

int main(){
int n;
scanf("%d", &n);
printf("%d\n", cutROd(p, n));

return 0;
}

指数爆炸

图样图森破啊，这个程序的复杂度是2^n，所以输入大一点的数就会指数爆炸了，等半天结果才会出来，所以这样写太native了

更高效的方法

改进上面的程序

上面的程序之所以低效，因为有很多重复的计算啊，比如说计算长度为4的钢条，便有多次计算了长度为2和3的最优解，更不要说在大一点的数要重复计算多少次了。但是，如果能避免这些重复计算的，算法的效率就会非常高了，只要在第一次计算中吧结果记录下来，下次需要用到的时候直接调用就可以了。

#include <stdio.h>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define INF 0x7fffff;

int p[11] = {
0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30
};

int memoizedCutRodAux(int p[], int n, int r[]){
int q;
if(r
>= 0)
return r
;
if(n == 0)
q = 0;
else{
q = -INF;
int i;
for(i = 1; i <= n; i++)
q = max(q, p[i] + memoizedCutRodAux(p, n-i, r)) ;
}
r
= q;
return q;
}

int memoizedCutRod(int p[], int n){
int r[11], i;
for(i = 0; i < 11; i++)
r[i] = -INF;
return memoizedCutRodAux(p, n, r);
}

int main(){
int n;
scanf("%d", &n);
printf("%d\n", memoizedCutRod(p, n));

return 0;
}

另一种解法

#include <stdio.h>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define INF 0x7fffff;

int p[11] = {
0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30
};

int buttomUpCutRod(int p[], int n){
int r[n+1];
r[0] = 0;
int i, j;
for(i = 1; i <= n; i++){
int q = -INF;
for(j = 1; j <= i; j++)
q = max(q, p[j] + r[i - j]);
r[i] = q;
}

return r
;
}

int main(){
int n;
scanf("%d", &n);
printf("%d\n", buttomUpCutRod(p, n));

return 0;
}