挑战程序设计竞赛-初出茅庐（最基础的“穷竭搜索”）

搜索是在程序设计竞赛章、以后的项目中用到的最多的算法思想。原则上，任何的问题都可以搜索解决，但是由于计算机性能的限制，必须找到更加优秀的算法来解决相应的问题。

穷竭搜索是将所有的可能性罗列出来，从中寻找答案。主要是深度优先搜索（DFS）、宽度优先搜索（BFS）、A*算法。主要介绍DFS、BFS。

递归函数：

在函数运行中，再次调用自身的行为叫做递归。主要是递归条件和递归出口。在编写递归函数时，不用特意去考虑函数的运行过程，如果理解不够深刻，会使自己陷入矛盾中，只要判断递归调用和写好递归出口就行了。

Test1：阶乘函数。N! = N x (N-1)! 。

int fact(int n){
if (n == 0) return 1;
return n * fact(n - 1);
}

递归过程如下：



斐波那契数列

定义fib(0) = 0; fib(1) = 1;（递归出口）；fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) （循环体）[n>1]。

int fib(int n){
if (n <= 1) return n;
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

看一下fib(10)的递归过程，可以看出有很多次的重复计算，这样就会导致程序运行很慢，解决的方法一种记做记忆化搜索和动态规划的技术，或者叫做递推。

int dp[MAXN + 1];
int fib(int n){
if(n <= 1) return n;
if(dp
!= 0) return dp
;
return dp
= fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

基础数据结构之栈

栈（stack）是一种先进后出的数据结构，支持pop和push两种操作。Push是放入一个元素到栈顶，pop是从栈顶取出一个元素并删除。栈可以简单的用数组实现。C++、Java中有标准库，例如C++中的stack。Top()取出栈顶元素；pop()删除栈顶元素；push()放入一个元素到栈顶。

Stack的例子；

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<stack>

using namespace std;

int main()
{

stack<int> s;
s.push(1);
s.push(2);
s.push(3);//从栈顶压入1,2,3
cout<<s.top()<<endl; //输出3
s.pop(); //移除3
cout<<s.top()<<endl; //输出2
s.pop(); //移除2
cout<<s.top()<<endl; //输出1
s.pop(); //移除1
return 0;
}
注：s.size();//栈的大小。 s.empty();//判断栈是否是空

基础数据结构之队列

队列是一种先进先出的数据结构，也可以用数组简单的实现，数组实现是可以使用数组构造循环队列。C++中的queue队列类型。front()从队头取出一个元素，push(),从队尾进入一个元素；pop(),移除队头元素（出队）。

queue例子：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>

using namespace std;

int main()
{

queue<int> q;
q.push(1);
q.push(2);
q.push(3);//从队尾进入1,2,3
cout<<q.front()<<endl; //输出1
q.pop(); //移除1
cout<<q.front()<<endl; //输出2
q.pop(); //移除2
cout<<q.front()<<endl; //输出3
q.pop(); //移除3
return 0;
}

深度优先搜索dfs:

深度优先搜索是搜索的手段之一。它从某个状态开始不断的转移到下一个状态，直到找到解或者无法继续就返回或者做适当的处理。根据dfs的特点，采用递归方式比较的简单。

Test3 部分和问题

给定整数 a1、a2、。。。、an，判断是否可以从中选出若干个数，使它们的和恰好为K。

限制条件：1 <= n <= 20 ; -1e8 <= k,ai <= 1e8。

样例：

输入：

n = 4

a = {1,2,4,7}

k = 13

输出：Yes {13 = 2 + 4 + 7}。

若k = 15 ，则输出 No。

从ai开始按顺序决定每个数加或者不加，在全部n个数都决定后在判断它们的和是否是K即可。状态数是2^(n+1),所以时间复杂度是O(2^n)。

//输入
int a[MAX_N],n,k;
bool dfs(int I,int sum){
//已经判断了前n项，比较sum = k ?
if(i==n) return sum==k;

//不使用ai
if(dfs(i + 1, sum)) return true;

//使用ai
if(dfs(i + 1, sum + a[i] ) return true;

//无论是否加上ai都不能组合成k
return false;
}
int main()
{
if(dfs(0, 0)) printf(“Yes\n”);
else printf(“No\n”);
return 0;
}

例题2：联通的个数（Lake Counting）（POJ 2386）

http://poj.org/problem?id=2386

从任意的W开始，dfs搜索与其相邻的八个方向的W，并将其变成 . 。每一次开始就记录加一个联通块的个数。

//解决代码
int N,M;
char map_m[MAX_N][MAX_N];
void dfs(int x,int y){
map_m[x][y] = '.';

//循环遍历八个方向
for(int dx=-1;dx<=1;dx++){
for(int dy=-1;dy<=1;dy++){
int nx=x+dx, ny=y+dy;

if(0<=nx&&nx<N&&0<=ny&&ny<M&&map_m[nx][ny]=='W') dfs(nx,ny);
}
}
return ;
}
void solve(){
int res = 0;
for(int i=0;i<N;i++){
for(int j=0;j<M;j++){
if(map_m[i][j]=='W'){
dfs(i,j);
res++;
}
}
}
cout<<res<<endl;
}

宽度优先搜索bfs:

宽度优先搜索总是先搜索距离初始状态最近的状态。它的执行过程是：当前状态 一步转移能到达的所有状态  2步转移能到达的所有状态  3步转移能到达的所有状态 ……. n步转移能到达的所有状态(或者到达目的状态)。

对于同一个状态，宽度优先搜索只经过一次，因此时间复杂度为O(状态数X转移方式)。Dfs（隐式）用到了栈，bfs用到了队列。

Bfs的转移过程：

全排列问题与dfs、C++STL next_permutation函数
bool used[MAXN];
int perm[MAXN];
void permutation(int pos, int n){
if(pos == n){
for(int i=0;i<n;i++) cout<<perm[i];

cout<<endl;
return ;
}

for(int i=0;i<n;i++){
if(!used[i]){
perm[pos] = i+1;
//i已经被使用，标记状态
used[i]=true;
permutation(pos+1,n);

//返回之后把标记复位
used[i]=false;

}
}
return ;
}
--------------------------------------------------------------------
for(int i=0;i<n;i++) perm[i]=i+1;
do{
for(int i=0;i<n;i++) cout<<perm[i];
cout<<endl;
}while(next_permutation(perm, perm+n));

最后，搜索一定一学会用剪枝，就是在搜索过程中，对于一定不满足的状态不在继续往下搜索，而是直接结束，有助于优化时间。