排序算法 之 堆排序 HeapSort

介绍

堆排序在 top K 问题中使用比较频繁。堆排序是采用二叉堆的数据结构来实现的，虽然实质上还是一维数组。二叉堆是一个近似完全二叉树 。

二叉堆具有以下性质：

- 父节点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

- 每个节点的左右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

步骤

构造最大堆（Build_Max_Heap）：若数组下标范围为0~n，考虑到单独一个元素是大根堆，则从下标n/2开始的元素均为大根堆。于是只要从n/2-1开始，向前依次构造大根堆，这样就能保证，构造到某个节点时，它的左右子树都已经是大根堆。

堆排序（HeapSort）：由于堆是用数组模拟的。得到一个大根堆后，数组内部并不是有序的。因此需要将堆化数组有序化。思想是移除根节点，并做最大堆调整的递归运算。第一次将heap[0]与heap[n-1]交换，再对heap[0…n-2]做最大堆调整。第二次将heap[0]与heap[n-2]交换，再对heap[0…n-3]做最大堆调整。重复该操作直至heap[0]和heap[1]交换。由于每次都是将最大的数并入到后面的有序区间，故操作完后整个数组就是有序的了。

最大堆调整（Max_Heapify）：该方法是提供给上述两个过程调用的。目的是将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点 。

代码

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 27 11:53:24 2016

@author: zang
"""

from matplotlib import pyplot as plt
import random

def heapSort(ary) :
n = len(ary)
first = int(n/2-1)       #最后一个非叶子节点
for start in range(first,-1,-1) :     #构造大根堆
max_heapify(ary,start,n-1)
for end in range(n-1,0,-1):           #堆排，将大根堆转换成有序数组
ary[end],ary[0] = ary[0],ary[end]
max_heapify(ary,0,end-1)
return ary

#最大堆调整：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
#start为当前需要调整最大堆的位置，end为调整边界
def max_heapify(ary,start,end):
root = start
while True :
child = root*2 +1               #调整节点的子节点
if child > end : break
if child+1 <= end and ary[child] < ary[child+1] :
child = child+1             #取较大的子节点
if ary[root] < ary[child] :     #较大的子节点成为父节点
ary[root],ary[child] = ary[child],ary[root]     #交换
root = child
else :
break

def plotScatter(inputList):
plt.scatter(range(len(inputList)),inputList)
plt.show()

if __name__ == "__main__":
num_list = range(1000)
unsortedList = random.sample(num_list, 30)
print "unsortedList:"
plotScatter(unsortedList)
print unsortedList
sortedList = heapSort(unsortedList)
print "sortedList:"
plotScatter(sortedList)
print sortedList

测试

输入

[796, 311, 58, 512, 470, 568, 648, 272, 132, 813, 284, 652, 887, 727, 709, 867, 206, 562, 287, 295, 805, 336, 51, 416, 799, 967, 760, 596, 161, 131]

输出

[51, 58, 131, 132, 161, 206, 272, 284, 287, 295, 311, 336, 416, 470, 512, 562, 568, 596, 648, 652, 709, 727, 760, 796, 799, 805, 813, 867, 887, 967]

分析

情况	性能
Worst case performance:	O(nlogn)
Best case performance:	O(nlogn)
Average case performance:	O(nlogn)
Worst case space complexity:	O(1)

参考

http://wuchong.me/blog/2014/02/09/algorithm-sort-summary/

http://blog.jobbole.com/72850/