欧几里得与扩展欧几里得介绍->POJ1061
2016-07-28 01:08
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1.欧几里德
欧几里得算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。
基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
第一种证明:
表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,
则d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。
第二种证明:
要证欧几里得算法成立,即证: gcd(a,b)=gcd(b,r) (其中 gcd是取最大公约数的意思,r=a mod b)
下面证 gcd(a,b)=gcd(b,r):
设c是a,b的最大公约数,
则有 a=mc,b=nc
(其中m,n为正整数,且m,n互为质数)
由 r= a mod b可知,r= a- qb 其中,q是正整数,
则 r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c
假设n,m-qn不互质:
则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数,
且d>1,
则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,
这时a,b 的最大公约数变成dc,与前提矛盾,
所以n ,m-qn一定互质
则gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
得证。
代码:
long long gcd(long long a,long long b) { return b ? gcd(b , a % b) : a; }
2.扩展欧几里得
基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。证明:设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面:
(1)求解不定方程;
(2)求解模线性方程(线性同余方程);
(3)求解模的逆元;
例题
题意:青蛙A和青蛙B,分别从一条首尾相接的数轴上坐标x、y出发。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。 现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
题解:
根据题目意思,我们可以得出这样一个方程:
设两只青蛙需要t步才能相遇,则
(x-y)%L = (n-m)*t%L
该式可以化简,即:
[(x-y)+(m*t-n*t)]%L=0
令a=x-y , b=n-m
则原式可以等价为:
a≡b*t mod L
问题变成了求解同余方程。
也可以继续化简成:
a+k*L=b*t
即,方程b*t-k*L=a是否有解
使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法:
对于不定整数方程ax+by=c,若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。
在找到a * x0+b * y0 = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后,
由于a*(x0-b/Gcd(a,b))+b*(y0+a/Gcd(a,b)) = Gcd(a,b)
所以 a * x0+b * y0 = Gcd(a, b)的其他整数解满足:
x’ = x0 - b/Gcd(a, b) * t
y’ = y0 + a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
至于ax+by=c的整数解,只需将a * x+b * y = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可。
在找到a * x0+b * y0 = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后,应该是得到a * x+b * y = c的一组解:
x1 = x0*(c/Gcd(a,b)),
y1 = y0*(c/Gcd(a,b))
由于a*(x1 - b/Gcd(a,b)) + b*(y1+a/Gcd(a,b)) = c
a * x+b * y = c的其他整数解满足:
x = x1-b/Gcd(a, b) * t
y = y1+a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
x 、y就是a * x+b * y = c的所有整数解。
用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法:
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解,当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时,方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n),假如整数 x 和 y,满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b,则方程
a* x0+ n* y0= d, 方程两边乘以 b/ d,(因为 d|b,所以能够整除),得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d,y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解,所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n,且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0… d-1}。
设ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整数解为:(ans%s+s)%s;
代码:
#include <stdio.h> #include <iostream> #include <cmath> using namespace std ; //扩展欧几里得模板 long long extend_gcd(long long a ,long long b ,long long &x ,long long &y) { if(a == 0 && b == 0) return -1 ; if(b == 0) { x = 1 ; y = 0 ; return a ; } long long d = extend_gcd(b , a % b , y , x) ; y -= a / b * x ; return d ; } int main() { long long x , y , m , n , L ; long long k0 , t0 , ans , step = 0; cin >> x >> y >> m >> n >> L ; long long gcd = extend_gcd(L , (n - m) , k0 , t0 ) ; long long c = x - y ; if(c % gcd != 0) printf("Impossible\n"); else { ans = t0*(x-y)/gcd ; long long r = L / gcd ;//约去公因子 ans = (ans % r + r) % r ;//求非负min(ans) cout << ans << endl ; } return 0; }
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