[专题训练]数论专题1

Preface

暑假来了，终于有时间扛专题了。

太简单的东西就不讲了。

Paper

扩展欧几里得算法

费马小定理和欧拉定理

费马小定理：∀(a,p)=1,p∈P有ap−1≡1(modp)。

证明：∵(a,m)=1∴∀i∈[1,p),ai≢p(modp)且ai两两不同余

∴ai属于模p除了[0]以外的各个剩余类环

∴∏p−1i=1i≡∏p−1i=1ai(modp)

∴ap−1≡1(modp)

欧拉定理：∀(a,m)=1有aφ(m)≡1(modm)

证明类似，略

中国剩余定理（CRT）

求方程

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x≡a1(modn1)x≡a2(modn2) ⋮x≡ak(modnk)

最小整数解x，其中ni两两互质。

我们要想办法构造一个x，它是若干ai乘上相应系数的和，这些系数要满足在模对应位时为1，模其它位时为0。很容易想到使用逆元。

令N=∏ki=1ni,mi=Nni,xi≡(mi)−1(modni)，那么x≡∑ki=1aiximi(modN)一定符合条件。

如果ni不是两两互质怎么办？我们每次可以合并两个方程：

{x≡a1(modn1)x≡a2(modn2)

令x=k1n1+a1=k2n2+a2，即有k1n1−k2n2=a2−a1。我们要找一个符合条件的解r只需要用扩展欧几里得解那个不定方程再回代，就可以将方程合并为x≡r(modlcm(n1,n2))。

组合数取模

我们要求Cmn(modk)，且k∈P。

Lucas定理

适用范围：n,m很大，logkmax(n,m)和k都不大

Lucas定理：Cmn≡∏i=0dCmini(modk)

ni,mi为n,m写成k进制下的第i位，k∈P。

证明：首先我们要知道这条式子

(a+b)p≡ap+bp(modp)(p∈P)(a+b)pi≡api+bpi(modp)(p∈P)

这个我在Cipolla′s Algorithm学习小记里面已经证明了，不再累赘。

∑m=0nCmnxm=(x+1)n=∏i=0d((x+1)pi)ni（快速幂的思想）≡∏i=0d(xpi+1)ni=∏i=0d⎛⎝∑j=0niCjnixpij⎞⎠（二项式定理逆着用）=∏i=0d⎛⎝∑j=0k−1Cjnixpij⎞⎠（当n<m时Cmn=0）=∑m=0n(∏i=0dCmini)xm（这一步比较难理解，考虑上一个式子中xm的指数m只能由m在k进制各位乘起来得到）(modk)

由此得到Lucas定理，证毕。

有了这个定理，我们就可以愉快的嘿嘿嘿了。就算n,m是高精度数我们也可以搞。

预处理阶乘

适用范围：n,m不大，k很大且与小于等于max(n,m)的所有正整数互质。

直接套用组合数阶乘公式，预处理阶乘和阶乘的逆元。

关于阶乘的逆元，我们可以用O(log2n)时间处理求(n!)−1，然后((n−1)!)−1≡n(n!)−1(modk)，线性时间得出所有阶乘的逆元。

快速阶乘

适用范围：logkmax(n,m)和k不大，k=pc(p∈P)

首先预处理1到k中所有不是p倍数的数的阶乘fi。

然后假设我们要求fact(n)，那么

fact(n)≡1×2×...×k×(k+1)×(k+2)×...×2k×(2k+1)×(2k+2)×...×n≡fact(k)⌊nk⌋fact(n mod k)(p×2p×...×⌊np⌋p)≡fact(k)⌊nk⌋fact(n mod k)fact(⌊nk⌋)p⌊nk⌋(modk)

注意p的指数要递归统计，最后再乘上来，这些细节自己考虑。

时间复杂度O(klogkn)。

中国剩余定理

适用范围：令k′为k分解质因数后最大的pc(p∈P)。logk′max(n,m)和k′不大

将k分解，每个质因子次幂单独做，然后中国剩余定理合并。

离散对数/大步小步算法（BSGS）

给定a,b,n，求满足ax≡b(modn)((a,n)=1)的x(x∈[0,n))。保证a为模n意义下的一个原根，即模n意义下ai包含了所有小于n的与n互质的数。

大步小步算法（BSGS）是一个典型的空间换时间的例子。

我们令p=⌈n−1−−−−−√⌉，考虑使用p重写（rewrite乱入?）a的指数，即ax=akp+r(r∈[0,p))。

我们先枚举r，计算出ar(r∈[0,p))的值，然后将它们（的逆元）扔到哈希表或是map之类的数据结构里面存好。然后再枚举k，计算akp。如果存在ax≡b(modn)，那么一定有akp≡a−rb(modn)，我们已经事先将a−r扔到数据结构里面，现在我们直接查找就好了。由于p是O(n√)的，因此k也是O(n√)的。

时间复杂度O(n√)（忽略数据结构复杂度）。

二次剩余：Cipolla′s Algorithm