快速排序

快速排序

快速排序的基本思路

快速排序是基于分治模式处理的，对一个典型子数组A[p...r]排序的分治过程为三个步骤：

1.分解：

A[p..r]被划分为俩个（可能空）的子数组A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]，使得

A[p ..q-1] <= A[q] <= A[q+1 ..r]

2.解决：通过递归调用快速排序，对子数组A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]排序。

3.合并。

快速排序伪代码

QUICK_SORT(A,p,r)
if(p<r)
then q <—— PARTITION(A,p,r)
QUICK_SORT(A,p,q-1)
QUICK_SORT(A,q+1,r)

//核心函数，对数组A[p,r]进行就地重排，将小于A[r]的数移到数组前半部分，将大于A[r]的数移到数组后半部分。
PARTITION(A,p,r)
pivot <—— A[r]
i <—— p-1
for j <—— p to r-1
do if A[j] < pivot
i <—— i+1
exchange A[i]<——>A[j]
exchange A[i+1]<——>A[r]
return i+1

实现代码

#include <stdio.h>
int partition(int *arr,int low,int high)
{
int pivot=arr[high];
int i=low-1;
int j,tmp;
for(j=low;j<high;++j)
if(arr[j]<pivot){
tmp=arr[++i];
arr[i]=arr[j];
arr[j]=tmp;
}
tmp=arr[i+1];
arr[i+1]=arr[high];
arr[high]=tmp;
return i+1;
}
void quick_sort(int *arr,int low,int high)
{
if(low<high){
int mid=partition(arr,low,high);
quick_sort(arr,low,mid-1);
quick_sort(arr,mid+1,high);
}
}
//test
int main()
{
int arr[10]={1,4,6,2,5,8,7,6,9,12};
quick_sort(arr,0,9);
int i;
for(i=0;i<10;++i)
printf("%d ",arr[i]);
}

算法复杂度

最坏情况下的快排时间复杂度：

最坏情况发生在划分过程产生的俩个区域分别包含n-1个元素和一个0元素的时候，

即假设算法每一次递归调用过程中都出现了，这种划分不对称。那么划分的代价为O（n），

因为对一个大小为0的数组递归调用后，返回T（0）=O（1）。

估算法的运行时间可以递归的表示为：

T（n）=T（n-1）+T（0）+O（n)=T(n-1)+O(n).

可以证明为T（n）=O（n^2）。

因此，如果在算法的每一层递归上，划分都是最大程度不对称的，那么算法的运行时间就是O（n^2）。

最快情况下快排时间复杂度：

最快情况下，即PARTITION可能做的最平衡的划分中，得到的每个子问题都不能大于n/2.

因为其中一个子问题的大小为|_n/2_|。另一个子问题的大小为|-n/2-|-1.

在这种情况下，快速排序的速度要快得多：
T(n)<=2T（n/2）+O（n）.可以证得，T（n）=O（nlgn）。