应用泰勒公式求极限时的无穷小分析

例一

limx→0ln(sin2x+ex)−xln(x2+e2x)−2x

正解：

原式等价于limx→0ln(sin2x+ex)−lnexln(x2+e2x)−lne2x

化简得limx→0ln(1+sin2x/ex)ln(1+x2/e2x)

使用泰勒公式对

ln(1+sin2x/ex)和ln(1+x2/e2x)

展开得到

sin2x/ex+o(sin2x/ex)和x2/e2x+o(x2/e2x)

带入原式得

limx→0sin2x/ex+o(sin2x/ex)x2/e2x+o(x2/e2x)

化简得

limx→0sin2x∗exx2

应用洛必达法则求得原式=1

错解:

对ln(sin2x+ex)进行泰勒展开得到

sin2x+ex−1+o(sin2x+ex−1)

对ln(x2+e2x)进行泰勒展开得到

x2+e2x−1+o(x2+e2x−1)

带入原式得limx→0sin2x+ex−1+o(sin2x+ex−1)−xx2+e2x−1+o(x2+e2x−1)−2x

化简得 limx→0sin2x+ex−1−xx2+e2x−1−2x

两次应用洛必达法则，得原式等价于

limx→02cos2x+ex2+4e2x

解得原式=1/2

错误原因在于错误地舍弃了两个高阶无穷小，对于分子来说

o(sin2x+ex−1)虽然是sin2x+ex−1的高阶无穷小，却不是sin2x+ex−1−x的高阶无穷小，o(sin2x+ex−1)可能与其是同阶的，所以舍去会造成错误，分母同理。

为何舍去会错误的详细证明请读者自行思考。

在(a+b)/(c+d)这样的式子中，若对a,b,c,d分别进行泰勒展开，一定要做好无穷小分析，确定应该展开多少项，否则随意展开成若干项，很容易产生错误。