[HDU 5729] Rigid Frameworks （二分图联通方案计数）

HDU - 5729

给定一个 N*M的矩形格子，问在一个格子里只添加一条斜线，

将整个图形变成一个刚性的图形的方案数有多少种

根据 Project Euler 434，问题可以转化为

一个左边有 N个点，右边有 M个点的二分图的联通方案计数

首先对于一个 N∗M的格子图，每个格子要么不加，

要么向左加一条斜线，要么向右加一条斜线，所以总方案数 2N∗M

接下来扣去其中不合法的方案数

设 dp[n][m]为左边 n个点，右边 m个点的方案数

对于左边的某一个点（不妨设为 1号点），

如果它不与图中其他所有点同在一个联通分量，那么就是不合法的

设从左边选 i个点，右边选 j个点与 1在同一个联通分量

剩下的 n−1−i与 m−j个点随意连接

方案数为 C(n−1,i)∗C(m,j)∗dp[i+1][j]∗3(n−1−i)∗(m−j)

所以枚举 i和 j减去即可

dpn,m=3n∗m−∑i=0,j=0i<=n−1,j<=mCin−1∗Cjm∗dpi+1.j∗3(n−1−i)∗(m−j)

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include <cstdio>
#include <iostream>
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#include <cstring>
#include <algorithm>
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#include <cctype>
#include <map>
#include <set>
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#include <bitset>
using namespace std;
typedef pair<int,int> Pii;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef double DBL;
typedef long double LDBL;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define SQR(a) ((a)*(a))
#define PCUT puts("----------")

const int MOD=1e9+7;
int N,M;
LL dp[20][20];
LL pow3[110];
LL C[20][20];

int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif

pow3[0]=1;
for(int i=1; i<=100; i++) pow3[i] = pow3[i-1]*3%MOD;
for(int i=0; i<=10; i++)
{
C[i][0]=1;
for(int j=1; j<=i; j++) C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1])%MOD;
}

for(int n=0; n<=10; n++) for(int m=0; m<=10; m++)
{
dp
[m] = pow3[n*m];
for(int i=0; i<=n-1; i++)
{
for(int j=0; j<=m; j++)
{
if(i==n-1 && j==m) break;
dp
[m] = (dp
[m] - C[n-1][i]*C[m][j]%MOD * pow3[(n-1-i)*(m-j)]%MOD * dp[i+1][j] )%MOD;
}
}
dp
[m] = (dp
[m]+MOD)%MOD;
}

while(~scanf("%d%d", &N, &M)) printf("%lld\n", dp
[M]);
return 0;
}