HDU3037

数论：Lucas定理

题意：题目相当于求n个数的和不超过m的方案数。

如果和恰好等于m，那么就等价于方程x1+x2+...+xn = m的解的个数，利用插板法可以得到方案数为：

(m+1)*(m+2)...(m+n-1) = C(m+n-1,n-1) = C(m+n-1,m)

现在就需要求不大于m的，相当于对i = 0,1...,m对C(n+i-1,i)求和，根据公式C(n,k) = C(n-1,k)+C(n-1,k-1)得

C(n-1,0)+C(n,1)+...+C(n+m-1,m)

= C(n,0)+C(n,1)+C(n+1,2)+...+C(n+m-1,m)

= C(n+m,m)

现在就是要求C(n+m,m) % p,其中p是素数。

然后利用Lucas定理的模板就可以轻松的求得C(n+m,m) % p的值

下面简单介绍一下Lucas定理：

Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）。

描述为:

Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)

Lucas(x,0,p)=1;

简单的理解就是：

以求解n! % p 为例，把n分段，每p个一段，每一段求得结果是一样的。但是需要单独处理每一段的末尾p,2p,...,把p提取出来，会发现剩下的数正好又是(n/p)! ，相当于

划归了一个子问题，这样递归求解即可。

这个是单独处理n！的情况，当然C(n,m)就是n！/(m! *（ｎ－ｍ）！），每一个阶乘都用上面的方法处理的话，就是Lucas定理了

Lucas最大的数据处理能力是p在10^5左右。

而C(a,b) =a! / ( b! * (a-b)! ) mod p

其实就是求 ( a! / (a-b)!) * ( b! )^(p-2) mod p

(上面这一步变换是根据费马小定理：假如p是质数，且a,p互质，那么a的（p-1）次方除以p的余数恒为1,

那么a和a^(p-2)互为乘法逆元，则（b / a) = (b * a^(p-2) ) mod p)

用下面的Lucas定理程序实现就能得出结果，实现过程中要注意乘法时的强制转换

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std ;
long long n , m , p;
long long pow_m(long long a , long long n , long long MOD)
{
long long ret = 1;
long long temp = a % MOD ;
while(n)
{
if (n&1) ret = (ret * temp) % MOD ;
temp = temp * temp % MOD ;
n >>= 1;
}
return ret ;
}
int Cm(long long n , long long m , long long p)
{
long long a = 1, b = 1 ;
if(m > n) return 0 ;
while(m)
{
a = (a * n) % p ;
b = (b * m) % p ;
m -- ;
n -- ;
}
return ((long long)a*(long long)pow_m(b,p-2,p))%p ;
}
long long Lucas(long long n , long long m , long long p)
{
if(m == 0) return 1 ;
return ((long long)Cm(n%p , m %p , p)*(long long)Lucas(n/p,m/p,p))%p ;
}
int main()
{
int T ;
scanf("%d",&T) ;
while(T--)
{
scanf("%I64d%I64d%I64d",&n ,& m ,& p) ;
printf("%I64d\n", Lucas(n+m , m , p));
}
return 0;
}