深入探索透视纹理映射

1.

推出了投影之后的x’和原始z之间的关系——x’和1/z是线性关系，y’和1/z也是线形关系。



 

 
上图是在相机空间的俯视图，eye是眼睛的位置，也就是原点。np和fp分别是近、远裁剪平面，N和F分别是z=0到两个裁剪平面的距离。pq是一个三角形pqr在xy平面上的两个点，p的坐标为（x,
y, z），p’是p投影之后的点，坐标为(x’,
y’, z’)，则有
 


 
另外，在相机空间中，三角形pqr是一个平面，因此它内部的每一条边上的x和z，以及y和z都是线性关系，即

 



 
 
这样，把上面投影之后的结果（1）带入这个线性式（2）（为了书写方便，现在开始我只处理x方向计算，y的情况一致），有
 



则我们通过这个式子推出了投影之后的x’和原始z之间的关系——x’和1/z是线性关系，y’和1/z也是线形关系。现在回忆我们上一篇文章中讲道的线性插值理论，我们可以说：因为x’、y’和1/z是线形关系，因此我们可以在投影面上通过x’和y’对1/z进行线性插值。至此我们可以得到这样的透视纹理映射思路：在投影平面上通过x’和y’对1/z线性插值，计算出1/z后，通过上面的（1）式计算出原始的x和y，然后在3D空间中通过x和y计算出s和t（x、y和s、t都是在3D空间中的三角形上定义的，是线性关系）。这样就找到了投影面上一个点所对应的纹理坐标的正确值了。

有一个问题——计算次数太多了，有些繁琐——我们还需要在空间中再进行几次线性插值才能得到想要的东西。有没有更简单的方式呢？当然了！

我们注意到，在空间中，x、y和s、t都是线性的（因为三角形是平面），所以有关系

 



 
 
把（4）带入（1），有
 



 
 
把（3）带入上式的中间项，得到（常数都进行合并）
 



 
 

我们发现s/z、t/z和x’、y’也是线性关系。而我们之前知道1/z和x’、y’是线性关系。则我们得出新的思路：对1/z关于x’、y’插值得到1/z’，然后对s/z、t/z关于x’、y’进行插值得到s’/z’、t’/z’，然后用s’/z’和t’/z’分别除以1/z’，就得到了插值s’和t’。这样就不用空间中的插值步骤了。

结论：

（1）最终投影点x、y和1/z是线性关系
（2）最终投影点x、y和s/z、t/z是线性关系

参考：

深入探索透视纹理映射（下） : http://blog.csdn.net/popy007/article/details/5570803

补充：

用垂直可视范围角度a和横纵比r构成的透视投影矩阵：



如果 vp = Mp * v0

那么值得主要的就是，vp.w = v0.z，

那么在Shader中看到  uv / pos.w 的话，那么就是相当于uv / pos.z，那么就是进行了上面说的
投影点x、y和s/z、t/z是线性关系
的变换。

(pos.w 具体是z还是-z要看使用的投影矩阵,OpenGL的话，就是-z，DX就是z)