基于比较的排序算法的最优下界---NlogN

这个最优下界的意思就是说，这种算法最好的情况也至少需要这么多步骤才能排出来。

进行非严格的推导。

N个数，一共有N!种排列。

比较i、j两个元素，最多能够确定多少种情况呢？

是N!/2，仔细想想快速排序，如果选到了一个号元素可以减少一半，如果不是一个好元素，并不能减少这么多。所以这样推出来的是最优下界。

那么我们设经过了k次比较，最后筛选出符合条件的唯一一种情况。

(N!) / (2^k) = 1

得N! = 2^k

两边取对数得 log(N!) = k*log(2)

忽略常数log(N!) = k

下面证明N! 和N^N是同阶的。

（1）N! = O(N^N)

因为N^N = N*N*N*N.......> N*(N-1)*(N-2)*....

所以得证

（2）N! = o(N^N)

因为N!= N*(N-1)*(N-2).... 

取N/2以上的数N! > N*(N-1)*(N-2)*......*(N/2) > (N/2)*(N/2)*(N/2)*(N/2).... = (N/2)^(N/2)

由（1）（2）可知，N!和N^N是同阶的。

所以k = log(N!) = log(N^N) = NlogN

简单推导完成。