群论初步

Group Theory

0. 关系的数学定义

设 S 是一个非空集合，S×S（S 与 S 的笛卡尔积，笛卡尔积作用在两个集合上，作用的结果仍然是集合 ）的一个子集 W 称为 S 上的一个二元关系（笛卡尔积的子集为关系）。

如果 (a,b)∈W，那么称 a 和 b 有 W 关系，记做，aWb，也简化为 a∼(W)b

如果 (a,b)∉W，那么称 a 与 b 没有 W 关系；

也即数学上严格的关系是定义在笛卡尔积的基础之上的。

1. 群与群论

只有一个代数运算的系统叫做“群”；

群在抽象代数中具有基本的重要地位，许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。

设 G 是一个非空集合， ⋅ 是它的一个二元运算，如果满足以下条件：

(1) 封闭性：若 a,b∈G，则存在唯一确定的 c∈G 使得 a⋅b=c；

(2) 结合律成立，即对 a,b,c 中任意元素 (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c) 都有 ；

(3) 单位元存在：存在 e∈G，对任意 a∈G，满足 a⋅e=e⋅a=a。 e 称为单位元，也称幺元；

(4) 逆元存在：任意 a∈G，存在 b∈G， a⋅b=b⋅a=e（ e 为单位元），则称 a 与 b 互为逆元素，简称逆元。 记作 b=a−1 ；

则称 对 构成一个群。

通常称 上的二元运算 为“乘法”，称 a⋅b为 a 与 b 的积，并简写为 ab。

若群 G 中元素个数是有限的，则 G 称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。