算法----欧拉算法

在计算固体力学中多用Lagrange 列式，计算流体力学用Euler列式，但在解决流体－固体耦合问题时需要一种将两种方法的优点结合起来的算法，即Arbitrary Lagrange-Euler算法，简称为ALE算法。ALE最早是为了解决流体动力学问题而引入的，并使用有限差分方法。Donea,Belytschko等人分别将ALE法引入有限元当中，用于求解流体于结构相互作用问题。Hughes等人建立了ALE描述的运动学理论，并使用有限元法解决了粘性不可压缩流体和自由表面流动问题。随着ALE技术的不断完善，一些专业计算软件开始加入ALE功能，LS—Dyna是目前具有较成熟的ALE算法的大型通用有限元程序，程序中最先采用简化ALE，后来发展到多物质ALE，其应用领域主要是流固耦合方面的计算。

欧拉算法

　　微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。欧拉(Euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不在工程中单独进行运算。所谓数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。对于常微分方程：

　　dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b]

　　y(a)=y0

　　可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xi+1)-y(xi))/h=f(xi,y(xi))，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi+1来：

　　yi+1= yi+h*f(xi,yi)，i=0,1,2,L

　　这就是欧拉格式，若初值yi+1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解y1,y2,L。

　　为简化分析，人们常在yi为准确即yi=y(xi)的前提下估计误差y(xi+1)-yi+1，这种误差称为局部截断误差。

　　如果一种数值方法的局部截断误差为O(h^p+1)，则称它的精度是p阶的，或称之为p阶方法。欧拉格式的局部截断误差为O(h^2)，由此可知欧拉格式仅为一阶方法。

　　欧拉公式：

　　y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)

　　且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)

　　局部截断误差是O(h^2)

　　

改进的欧拉算法

　　先用欧拉法求得一个初步的近似值，称为预报值，然后用它替代梯形法右端的yi+1再直接计算fi+1，得到校正值yi+1，这样建立的预报-校正系统称为改进的欧拉格式：

　　预报值 y~i+1=yi+1 + h*f(xi,yi)

　　校正值 yi+1=yi+(h/2)*[f(xi,yi)+f(xi+1,y~i+1)]

　　它有下列平均化形式：

　　yp=yi+h*f(xi,yi)

　　且 yc=yi+h*f(xi+1,yp)

　　且 yi+1=(xp+yc)/2

　　它的局部截断误差为O(h^3)，可见，改进欧拉格式较欧拉格式提高了精度，其截断误差比欧拉格式提高了一阶。

　　注：欧拉法用差商 [y(xi+1)-y(xi)]/h近似代替y(xi)的导数，局部截断误差较大；改进欧拉法先用欧拉法求出预报值，再利用梯形公式求出校正值，局部截断误差比欧拉法低了一阶，较大程度地提高了计算精度。

 

 

改进欧拉算法

#include<iostream.h>

#define N 20

void ModEuler(float (*f1)(float,float),float x0,float y0,floatxn,int n)

{

int i;

float yp,yc,x=x0,y=y0,h=(xn-x0)/n;

cout<<"x[0]="<<x<<'t'<<"y[0]"<<y<<endl;

for(i=1;i<=n;i++)

{

  yp=y+h*f1(x,y);

   x=x0+i*h;

  yc=y+h*f1(x,yp);

  y=(yp+yc)/2.0;

  cout<<"x["<<i<<"]="<<x<<"   y["<<i<<"]="<<y<<endl;

}

}

void main()

{

float xn=5.0,x0=0.0,y0=2.0;

float f1(float ,float);

ModEuler(f1,x0,y0,xn,N);

}

float f1(float x,float y)

{

return -x*y*y;

}