分块矩阵的逆矩阵的公式记忆方法

首先我们来认识一下主要的分块矩阵的逆矩阵的类型有以下几种：





然后，我们可以像在行列式中对行列式分为主对角线行列式和副对角线行列式一样，把这些分块矩阵分为两类：主对角线分块矩阵（图中1，4，5）和副对角线分块矩阵（图中2，3，6）。

我们先来看主对角线分块矩阵的逆矩阵公式规律：

主对角线分块矩阵的分块矩阵位置不变，主对角线上的分块矩阵分别添上（-1）求各自的逆矩阵，在B，C这些角位置上的分块矩阵，先在相应的位置添上负号，然后按照顺时针旋转的顺序，从出现顺时针转到的第一个分块矩阵的位置开始计算，头尾加上（-1）求逆矩阵，中间的数不加。如图1-2中，先变换分块矩阵的位置（因为是主对角线分块矩阵，位置不变），然后顺时针旋转，遇到的第一个分块矩阵是A，所以B的位置为应该填上

（-A^(-1)*B*D^(-1)）。（抱歉由于无法输入数学公式，只能这样了，具体看图1-2中B位置处的值。）那么相应的图1-3中，我们变换好矩阵后顺时针旋转首先遇到的是D，所以在C位置我们需要填入的是（-D^(-1)*C*A^(-1)）。



图1-1 



图1-2



图1-3

​下面我们可以自己来仿照主对角线上分块矩阵的可逆矩阵的公式规律总结一下在副对角线上的分块矩阵的可逆矩阵的公式规律：



图2-1



图2-2



图2-3

副对角线分块矩阵的分块矩阵位置改变，变化到它们各自对面的位置（如A与D交换，B与C交换），副对角线上的分块矩阵再分别添上（-1）求各自的逆矩阵，在A，D这些角位置上的分块矩阵，先在相应的位置添上负号，然后按照逆时针旋转的顺序，从出现逆时针转到的第一个分块矩阵的位置开始计算，头尾加上（-1）求逆矩阵，中间的数不加。如图2-2中，先变换分块矩阵的位置，然后逆时针旋转，遇到的第一个分块矩阵是B，所以D的位置为应该填上

（-B^(-1)*A*C^(-1)）。那么相应的图2-3中，我们变换好矩阵后逆时针旋转首先遇到的是C，所以在A位置我们需要填入的是（-C^(-1)*D*B^(-1)）。

知识需要共享，如果大家什么好的规律也希望能够发出来，给大家共享。（最好能够顺便告诉我一声，在我的这篇博文下方给我写个评论，让鄙人也能长点知识，谢谢！）​