因式分解的研究

x=x2 ⇒ x−1=x2−1

0. x4+1

x4+1=x4+2x2+1−2x2=(x2+1)2−2x2=(x2+1+2√x)(x2+1−2√x)

1. an−1

1+a+a2+⋯+an−1=an−1a−1

an−1=(a−1)[1+a+a2+⋯+an−1]

所以对于 ar⋅s−1 而言，必然存在：

ar⋅s−1=(ar−1)[1+(ar)+(ar)2+⋯+(ar)s−1]ar⋅s−1=(as−1)[1+(as)+(as)2+⋯+(as)r−1]

也即 ar−1、as−1 均是 ar⋅s−1 的因子；

也因此，x3−1=(x−1)(1+x+x2)

2. x2−6x−1

主动构造配方；

x2−6x−1=x2−6x+9−9−1=(x−3−10−−√)(x−3+10−−√)

当然配方不限于配常数项，还可配1次项，2次项等：

x4+1=x4+2x2+1−2x2=(x2+1)2−(2√x)2

3. 平方差公式的证明

x2−a2=(x+a)(x−a)

我们小时候，从右向左进行证明，

当然也可从左向右进行证明，如下：

x2−a2=x2+ax−ax−a2=x(x+a)−a(x+a)=(x+a)(x−a)x2−a2=x2−2ax+a2+2ax−2a2=(x−a)2+2a(x−a)=(x−a)(x+a)