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最小二乘法多项式曲线拟合

2016-07-12 20:55 274 查看
1、概念最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y=φ(x)。给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y=φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi=φ(xi)-y，i=1,2,...,m。

2、常见的曲线拟合方法:

1.使偏差绝对值之和最小






2.使最大偏差绝对值最小






3.使偏差平方和最小





3、推导过程：

1.设拟合多项式为：



2.各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：





3.为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了：







.......





4.将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式：







.......





5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：





6.将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:



7.也就是说X*A=Y，那么A=(X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

4.实现
#coding=utf-8


'''

作者:JairusChan

程序:多项式曲线拟合算法

'''

importmatplotlib.pyplotasplt

importmath

importnumpy

importrandom


fig=plt.figure()

ax=fig.add_subplot(111)


#阶数为9阶

order=9


#生成曲线上的各个点

x=numpy.arange(-1,1,0.02)

y=[((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2)forainx]

#ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='')

#,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"


#生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去

i=0

xa=[]

ya=[]

forxxinx:

yy=y[i]

d=float(random.randint(60,140))/100

#ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.')

i+=1

xa.append(xx*d)

ya.append(yy*d)


'''foriinrange(0,5):

xx=float(random.randint(-100,100))/100

yy=float(random.randint(-60,60))/100

xa.append(xx)

ya.append(yy)'''


ax.plot(xa,ya,color='m',linestyle='',marker='.')



#进行曲线拟合

matA=[]

foriinrange(0,order+1):

matA1=[]

forjinrange(0,order+1):

tx=0.0

forkinrange(0,len(xa)):

dx=1.0

forlinrange(0,j+i):

dx=dx*xa[k]

tx+=dx

matA1.append(tx)

matA.append(matA1)


#print(len(xa))

#print(matA[0][0])

matA=numpy.array(matA)


matB=[]

foriinrange(0,order+1):

ty=0.0

forkinrange(0,len(xa)):

dy=1.0

forlinrange(0,i):

dy=dy*xa[k]

ty+=ya[k]*dy

matB.append(ty)


matB=numpy.array(matB)


matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)


#画出拟合后的曲线

#print(matAA)

xxa=numpy.arange(-1,1.06,0.01)

yya=[]

foriinrange(0,len(xxa)):

yy=0.0

forjinrange(0,order+1):

dy=1.0

		forkinrange(0,j):

dy*=xxa[i]

dy*=matAA[j]

yy+=dy

yya.append(yy)

ax.plot(xxa,yya,color='g',linestyle='-',marker='')


ax.legend()

plt.show()

[/code]
http://blog.csdn.net/jairuschan/article/details/7517773/

来自为知笔记(Wiz)
                                            

                                        

                        
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