K-means算法

算法描述：

1>    从N个数据中选出K个元素作为质心，即数据将被分成K簇

2>    依次计算剩下的每一个元素到K个元素的相异度，一般是计算距离，将这些元素分别划分到相异度最低的簇中去

3>    根据聚类结果分别重新计算k个簇各自的中心，计算方法是取簇中各维度的算术平均值。

4>    将D的全部元素按照新的中心重新聚类。

5>    重复第四步，直到聚类结果不再发生改变。

6>    将结果输出

算法的工作过程：
   
首先从n个数据对象任意选择K个作为初始聚类中心，对于剩下的其它对象，则根据它们与这些聚类中心的相似度(距离)，分别将它们分配到与其最相似的聚类中，然后再计算新的聚类的聚类质心，不断重复这个过程，直至标准测度函数收敛为止，一般采用均方差作为标准测度函数。

K-means算法的特点：

各簇之间的差异性较大，簇内的相似性较大

用数学表达式来说就是：

在聚类中的训练样本是{x(1),……x(m)},每个x(i)∈R(n)没有y

K-means算法就是将样本聚类冲K个簇

① 随机选取K个聚类质心点，分别为μ1，μ2，……，μk∈ Rn

②重复下面过程直到收敛

{

对于每一个样本计算它应该属于的簇（类）



对于每一个簇（类）重新计算质心



}

K是实现由用户给定的聚类数，

 表示样例i与k个类中质心点距离最近的那个类，

的值是1到K中的一个，质心

 代表对属于同一个类的样本中心点的猜测。

K-means 算法可以说是一个不断迭代的问题，目的是为了求得每个样本点到质心的最小距离。公式描述如下：



J函数表示每个样本点到其质心的距离平方和。K-means算法是要将其调整到最小值，可以看出这个J函数最终是收敛的，因为不管是调整质心或是调整每个样例所属的类别，都可以让J逐渐变小，当J减到最小的时候，μ和c也就同时收敛。

这样可以得到K-means算法的时间复杂度和空间复杂度：

时间复杂度：O（tKmn），其中t为迭代次数，K为簇的数目，m为记录数目，n为维数

空间复杂度：O((m+K)*n),m为记录数目,K为簇的数目，n为维数

k-means算法的不足之处：

① K值是事先给定的，但是这个K的值不太好确定，事先不清楚到底分多少个类比较合适。

② 聚类质心不好选择，初始的聚类质心的值的选择对聚类结果具有较大的影响。由于K-means算法的聚类准则函数是常用的误差平

方和准则函数，是一个非凸函数，存在多个局部极小值，只有一个是全局最小的。加上K-means聚类算法随机选取的初始中心往往

会落入到非凸函数曲面的位置，从而导致与全局最优解的范围存在一定偏离，因此通过迭代技术往往使聚类准则函数达到局部最优

而非全局最优的解。

③ 算法的开支比较大，因为要不断地对样本进行分类调整，并需要不断地计算新的簇的质心，因此当数据量很大的时候，算法的时间开发就很大了。

 

K-means算法在人体运动编辑与合成方面的应用：

应用流形学习技术结合K-means算法对长运动序列进行聚类分析以达到动作分割目的

matlab源代码：

KMeans.m

%N是数据一共分多少类
%data是输入的不带分类标号的数据
%u是每一类的中心
%re是返回的带分类标号的数据
function [u re]=KMeans(data,N)
[m n]=size(data);   %m是数据个数，n是数据维数
ma=zeros(n);        %每一维最大的数
mi=zeros(n);        %每一维最小的数
u=zeros(N,n);       %随机初始化，最终迭代到每一类的中心位置
for i=1:n
ma(i)=max(data(:,i));    %每一维最大的数
mi(i)=min(data(:,i));    %每一维最小的数
for j=1:N
u(j,i)=ma(i)+(mi(i)-ma(i))*rand();  %随机初始化，不过还是在每一维[min max]中初始化好些
end
end

while 1
pre_u=u;            %上一次求得的中心位置
for i=1:N
tmp{i}=[];      % 公式一中的x(i)-uj,为公式一实现做准备
for j=1:m
tmp{i}=[tmp{i};data(j,:)-u(i,:)];  %tmp存数的是每个数据减去每个聚类中心的结果，这是第i个聚类中心
end
end

quan=zeros(m,N);
for i=1:m        %公式一的实现
c=[];
for j=1:N
c=[c norm(tmp{j}(i,:))];%返回二范数
end
[junk index]=min(c); %找每行得到的j个最小值的最终最小值，并返回其是那个聚类
quan(i,index)=norm(tmp{index}(i,:));%得到当前行的对应最小二范数的值
end

for i=1:N            %公式二的实现
for j=1:n
u(i,j)=sum(quan(:,i).*data(:,j))/sum(quan(:,i));%重新计算质心
end
end

if norm(pre_u-u)<0.1  %不断迭代直到位置不再变化
break;
end
end

re=[];
%迭代不再发生变化，那就说明达到最后一步了，直接再计算一次二范数，去最小的那个，得到每一行所属的标签
%可以看到与上面的步骤相同。
for i=1:m
tmp=[];
for j=1:N
tmp=[tmp norm(data(i,:)-u(j,:))];
end
[junk index]=min(tmp);
re=[re;data(i,:) index];
end

end

KMeansTset.m

clear all;
close all;
clc;

%第一类数据
mu1=[0 0 0]; %均值
S1=[0.3 0 0;0 0.35 0;0 0 0.3]; %协方差
data1=mvnrnd(mu1,S1,100); %产生高斯分布数据

%%第二类数据
mu2=[1.25 1.25 1.25];
S2=[0.3 0 0;0 0.35 0;0 0 0.3];
data2=mvnrnd(mu2,S2,100);

%第三个类数据
mu3=[-1.25 1.25 -1.25];
S3=[0.3 0 0;0 0.35 0;0 0 0.3];
data3=mvnrnd(mu3,S3,100);

%显示数据
plot3(data1(:,1),data1(:,2),data1(:,3),'+');
hold on;
plot3(data2(:,1),data2(:,2),data2(:,3),'r+');
plot3(data3(:,1),data3(:,2),data3(:,3),'g+');
grid on;

%三类数据合成一个不带标号的数据类
data=[data1;data2;data3]; %这里的data是不带标号的

%k-means聚类
[u re]=KMeans(data,3); %最后产生带标号的数据，标号在所有数据的最后，意思就是数据再加一维度
[m n]=size(re);

%最后显示聚类后的数据
figure;
for i=1:m
if re(i,4)==1
plot3(re(i,1),re(i,2),re(i,3),'ro');
hold on;
elseif re(i,4)==2
plot3(re(i,1),re(i,2),re(i,3),'go');
hold on;
else
plot3(re(i,1),re(i,2),re(i,3),'bo');
hold on;
end
end
grid on;

最终结果：

聚类之前的数据：



聚类之后的数据：