集合上的欧式投影或者欧式投影到一个集合
2016-07-07 09:48
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英文:
Euclidean projection on a set
Euclidean projection onto a set
即:近端操作(proximal operator )的一个特例。其中一个scaled function的近端操作,通过下面的公式表示:
proxλf(v)=argminx(f(x)+(1/(2λ))||x−v||22).
一个点x0∈Rn在一个集合S∈Rn上的欧式投影是这样的一个点,满足x0∈Rn到该点的距离是到集合的最短欧式距离。即:
minx||x−x0||2:x∈S
当集合S是凸集时,上述问题存在唯一解。特别地,在一个仿射子空间(特殊的凸集)上的投影是唯一的。
例子:
假定S是一个超平面。
S={x∈R3:2x1+x2−x3=1}
x0=0在集合S上的投影变成为与系数矢量a=(2,1,−1)对齐的问题。实际上,与a正交的x成分不会出现在约束中,仅会增加目标函数值。在超平面定义的等式中设置x=ta,然后求解标量t,我们得到t=1/(aTa)=1/6,因此欧式投影为:
x∗=a/(aTa)=(1/3,1/6,−1/6)
理解:
我们知道一个点到一个平面的最短距离是点与平面的垂直距离,其对应的向量为法向向量,我们知道超平面的法向量就是其系数。即两个向量平行:
(x−x0)//(2,1,−1)
由因为x0=0,所以:
x=t(2,1,−1)
将上式带入到超平面,即可求解t,因为
2x1+x2−x3=1
即:
<x,(2,1,−1)>=1
也即:
<ta,a>=1或taTa=1
参考文献:
1、https://inst.eecs.berkeley.edu/~ee127a/book/login/def_proj_general.html
2、proximal operator.
Euclidean projection on a set
Euclidean projection onto a set
即:近端操作(proximal operator )的一个特例。其中一个scaled function的近端操作,通过下面的公式表示:
proxλf(v)=argminx(f(x)+(1/(2λ))||x−v||22).
一个点x0∈Rn在一个集合S∈Rn上的欧式投影是这样的一个点,满足x0∈Rn到该点的距离是到集合的最短欧式距离。即:
minx||x−x0||2:x∈S
当集合S是凸集时,上述问题存在唯一解。特别地,在一个仿射子空间(特殊的凸集)上的投影是唯一的。
例子:
假定S是一个超平面。
S={x∈R3:2x1+x2−x3=1}
x0=0在集合S上的投影变成为与系数矢量a=(2,1,−1)对齐的问题。实际上,与a正交的x成分不会出现在约束中,仅会增加目标函数值。在超平面定义的等式中设置x=ta,然后求解标量t,我们得到t=1/(aTa)=1/6,因此欧式投影为:
x∗=a/(aTa)=(1/3,1/6,−1/6)
理解:
我们知道一个点到一个平面的最短距离是点与平面的垂直距离,其对应的向量为法向向量,我们知道超平面的法向量就是其系数。即两个向量平行:
(x−x0)//(2,1,−1)
由因为x0=0,所以:
x=t(2,1,−1)
将上式带入到超平面,即可求解t,因为
2x1+x2−x3=1
即:
<x,(2,1,−1)>=1
也即:
<ta,a>=1或taTa=1
参考文献:
1、https://inst.eecs.berkeley.edu/~ee127a/book/login/def_proj_general.html
2、proximal operator.
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