最小生成树Prim算法理解

MST（Minimum Spanning Tree，最小生成树）问题有两种通用的解法，Prim算法就是其中之一，它是从点的方面考虑构建一颗MST，大致思想是：设图G顶点集合为U，首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合V，再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合V；以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V，直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一颗MST。因为有N个顶点，所以该MST就有N-1条边，每一次向集合V中加入一个点，就意味着找到一条MST的边。

用图示和代码说明：

初始状态：



设置2个数据结构：

lowcost[i]:表示以i为终点的边的最小权值,当lowcost[i]=0说明以i为终点的边的最小权值=0,也就是表示i点加入了MST

mst[i]:表示对应lowcost[i]的起点，即说明边<mst[i],i>是MST的一条边，当mst[i]=0表示起点i加入MST

我们假设V1是起始点，进行初始化（*代表无限大，即无通路）：

lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*

mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有点默认起点是V1）

明显看出，以V3为终点的边的权值最小=1，所以边<mst[3],3>=1加入MST



此时，因为点V3的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3

明显看出，以V6为终点的边的权值最小=4，所以边<mst[6],6>=4加入MST



此时，因为点V6的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0

明显看出，以V4为终点的边的权值最小=2，所以边<mst[4],4>=4加入MST



此时，因为点V4的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0

明显看出，以V2为终点的边的权值最小=5，所以边<mst[2],2>=5加入MST



此时，因为点V2的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0

很明显，以V5为终点的边的权值最小=3，所以边<mst[5],5>=3加入MST

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0

至此，MST构建成功，如图所示：



根据上面的过程，可以容易的写出具体实现代码如下（cpp）：

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#include<iostream>  

#include<fstream>  

using  namespace std;  

  

#define MAX 100  

#define MAXCOST 0x7fffffff  

  

int graph[MAX][MAX];  

  

int prim(int graph[][MAX], int n)  

{  

    int lowcost[MAX];  

    int mst[MAX];  

    int i, j, min, minid, sum = 0;  

    for (i = 2; i <= n; i++)  

    {  

        lowcost[i] = graph[1][i];  

        mst[i] = 1;  

    }  

    mst[1] = 0;  

    for (i = 2; i <= n; i++)  

    {  

        min = MAXCOST;  

        minid = 0;  

        for (j = 2; j <= n; j++)  

        {  

            if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)  

            {  

                min = lowcost[j];  

                minid = j;  

            }  

        }  

        cout << "V" << mst[minid] << "-V" << minid << "=" << min << endl;  

        sum += min;  

        lowcost[minid] = 0;  

        for (j = 2; j <= n; j++)  

        {  

            if (graph[minid][j] < lowcost[j])  

            {  

                lowcost[j] = graph[minid][j];  

                mst[j] = minid;  

            }  

        }  

    }  

    return sum;  

}  

  

int main()  

{  

    int i, j, k, m, n;  

    int x, y, cost;  

    ifstream in("input.txt");  

    in >> m >> n;//m=顶点的个数，n=边的个数  

    //初始化图G  

    for (i = 1; i <= m; i++)  

    {  

        for (j = 1; j <= m; j++)  

        {  

            graph[i][j] = MAXCOST;  

        }  

    }  

    //构建图G  

    for (k = 1; k <= n; k++)  

    {  

        in >> i >> j >> cost;  

        graph[i][j] = cost;  

        graph[j][i] = cost;  

    }  

    //求解最小生成树  

    cost = prim(graph, m);  

    //输出最小权值和  

    cout << "最小权值和=" << cost << endl;  

    system("pause");  

    return 0;  

}  

Input：

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6 10  

1 2 6  

1 3 1  

1 4 5  

2 3 5  

2 5 3  

3 4 5  

3 5 6  

3 6 4  

4 6 2  

5 6 6  

Output：

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V1-V3=1  

V3-V6=4  

V6-V4=2  

V3-V2=5  

V2-V5=3  

最小权值和=15  

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