专题四总结

图这章好难，幸好有点离散数学和数据结构的底子，不过刷题好辛苦，正好还赶上考试周。。。

图的定义：

很简单，G(V,E)， V、E分别表示点和边的集合。

图的表示：

主要有两种，邻接矩阵和邻接表，前者空间复杂度，O(V2），后者为O(V+E)。因此，除非非常稠密的图(边非常多），一般后者优越于前者。

图的遍历：

宽度遍历BFS(start): (1)队列Q=Empty，数组bool visited[V]={false...}. Q.push(start);

(2)while (!Q.empty()){

u = Q.pop(); visited[u] = true; //遍历u结点

foreach(u的每一个邻接结点v) Q.push(v);

}

深度遍历DFS(start): (1)栈S=Empty, 数组bool visited[V]={false...}. S.push(start);

(2)while (!S.empty()){

u= S.pop();

if(!visited[u]) visited[u] = true; //遍历u结点

foreach(u的每一个邻接结点v) S.push(v);

}

初看之下两个算法很 相似，主要区别在于一个使用队列，一个使用栈，最终导致了遍历的顺序截然不同。队列是先入先出，所以访问u以后接下来就访问u中未访问过的邻接结点；而栈的后进先出，当访问u后，压入了u的邻接结点，在后面的循环中，首先访问u的第一个临接点v，接下来又将v的邻接点w压入S，这样接下来要访问的自然是w
了。

最小生成树：

一.Prime算法:
(1) 集合MST=T=Empty，选取G中一结点u，T.add(u)

(2) 循环|V|-1次：选取一条这样的边e=min{(x,y)| x in T, y in V/T} T.add(y);MST.add(e);

(3)MST即为所求
二. Kruskal算法
(1)将G中所有的边排序并放入集合H中，初始化集合MST=Empty,初始化不相交集合T={{v1}, {v2}...}}，也即T中每个点为一个集合。

(2) 依次取H中的最短边e(u,v)，如果Find-Set(u)!=Find-Set(v)（也即u、v是否已经在一棵树中），那么Union(u,v)（即u,v合并为一个集合)，MST.add(e);

(3)MST即为所求

这两个算法都是贪心算法，区别在于每次选取边的策略。证明该算法的关键在于一点：如果MST是图G的最小生成树，那么在子图G'中包含的子生成树MST' 也必然是G'的最小生成树。这个很容易反正，假设不成立，那么G'有一棵权重和更小的生成树，用它替换掉MST'，那么对于G我们就找到了比MST更小的生成树，显然这与我们的假设(MST是最小生成树)矛盾了。

理解了这个关键点，算法的正确性就好理解多了。对于Prime，T于V/T两个点集都会各自有一棵生成树，最后要连起来构成一棵大的生成树，那么显然要选两者之间的最短的那条边了。对于Kruskal算法，如果当前选取的边没有引起环路，那么正确性是显然的（对给定点集依次选最小的边构成一棵树当然是最小生成树了），如果导致了环路，那么说明两个点都在该点集里，由于已经构成了树（否则也不可能导致环路）并且一直都是挑尽可能小的，所以肯定是最小生成树。

最短路径:

这里的算法基本是基于动态规划和贪心算法的，经典算法有很多个，主要区别在于：有的是通用的，有的是针对某一类图的，例如，无负环的图，或者无负权边的图等。

单源最短路径
（1） 通用（Bellman-Ford算法）：

（2） 无负权边的图(Dijkstra算法)：

（3） 无环有向图(DAG) 所有结点间最短路径：

（1）Floyd-Warshall算法：

（2） Johnson算法：