《数据结构》复习之二叉树

二叉树的性质
1满二叉树和完全二叉树

2二叉树的主要性质

二叉树的数据结构

二叉树的算法

补充

总结

1.二叉树的性质

1.1满二叉树和完全二叉树

　　在一棵二叉树中，如果所有的分支节点都有左孩子和右孩子，并且叶子节点都集中在二叉树的最下一层，则这样的二叉树被称为满二叉树。

　　如果一棵深度为k有n个节点的二叉树进行编号后，各结点的编号与深度为k的满二叉树中相同位置山的结点的编号军相投，那么这棵二叉树就是一颗完全二叉树。

1.2二叉树的主要性质

总分支数=总结点数-1（这条结论对任何树都适用，不止是二叉树）

证明：在二叉树中除根节点之外，每一个结点都有唯一的一个分支指向它，由此可证。

非空二叉树上叶子节点数等于双分支节点数+1

证明：由上一条性质可证。设二叉树叶子节点数为n0，单分支节点数为n1，双分支节点数为n2，则总结点数为n0+n1+n2。总分支数为2*n2+n1。由上一条性质可得，n0+n1+n2-1=2*n2+n1。化简得：n0=n2+1。（注意，这种证明方法常常被用到）

二叉树的第i层上最多有2i-1(i>=1)个节点。

证明：等比数列。

高度为k的二叉树最多有2k-1(K>=1)个节点。换句话说满二叉树中前k层的结点个数为2k-1。

证明：等比数列求和问题。

有n个阶段的完全二叉树，对各节点从上到下，从左到右依次编号（编号范围1~n），则节点之间有如下关系。

若i为某节点a的编号，则：

如果i！=1，则双亲节点的编号为i/2向下取整。

如果2i<=n，则左孩子的编号为2i；如果2i>n，则a无左孩子。

如果2i+1<=n，则右孩子的编号为2i+1；如果2i+1>n，则a无右孩子。

这些性质中最常用的还是1-4条性质。

2.二叉树的数据结构

　　二叉树也有顺序存储结构和链式存储结构。顺序存储结构是用数组存储，下标遵循上面第5条性质，注意下标从1开始。链式存储结构是最常用的存储二叉树的结构，如下图所示。

　　


　　其中data表示节点数据域，用与存储对应的数据元素；lchild和rchild分别表示左指针域和右指针域，分别用于存储左孩子结点和右孩子结点的位置。

　　定义如下：

typedef struct BTNode
{
char data;
struct BTNode *lchild;
struct BTNode *rchild;
}BTNode

3.二叉树的算法

　　二叉树的算法主要是遍历算法,包括深度遍历（先序遍历，中序遍历，后序遍历）和广度遍历（层次遍历）。这也是解大多数二叉树题目的关键。

　　三种遍历（先序遍历，中序遍历，后序遍历）代码如下　

void PreOrderTraverse(BiTree T) //先序遍历
{
if(T!=NULL)
{
cout<<T->data<<" ";
PreOrderTraverse(T->lchild);
PreOrderTraverse(T->rchild);
}
}

void InOrderTraverse(BiTree T)  //中序遍历
{
if(T!=NULL)
{
InOrderTraverse(T->lchild);
cout<<T->data<<" ";
InOrderTraverse(T->rchild);
}
}

void PostOrderTraverse(BiTree T)   //后序遍历
{
if(T!=NULL)
{
PostOrderTraverse(T->lchild);
PostOrderTraverse(T->rchild);
cout<<T->data<<" ";
}
}

　　层次遍历的伪代码如下

　　

根节点入队
while(队不空)
{
节点出队，并访问
if（左子树不为空）
左子树入队
if（右子树不为空）
右子树入队
}

　　c++代码如下：

　　

void LevelOrderTraverse()
{
int front=0,rear=0;   //定义循环队列
BiTNode *que[Maxsize];
front=rear;
BiTNode *q;
if(T!=NULL)          //如果传过来的树不为空
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=T;                //根节点入队
while (front!=rear)    //队列不为空
{
front=(front+1)%Maxsize;
q=que[front];        //队头出队
cout<<q->data<<" ";    //访问队头
if (q->lchild!=NULL)       //如果左子树不空，则左子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->lchild;
}
if (q->rchild!=NULL)       //如果右子树不空，则右子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->rchild;
}
}
}
}

　　这4个算法（其实只算两个）就像模板一样，大多数二叉树题目只要会套这个模板就能解决，因此它非常重要。

4.补充

　　下面的程序是我大二数据结构课设时写的，现在看起来有许多不足和幼稚的地方，但仍然具有一定的参考价值，将它放在这里。

　　

#define Maxsize 100
#include<ctype.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<fstream>
#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef char TElemType;

typedef struct BiTNode
{
TElemType data;
int flag;
int layer;
struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,* BiTree;

#include "SqStack.h"

class BinaryTreeOperator   //  二叉树操作类
{
public:
BiTree T;
BinaryTreeOperator()
{
InitBiTree();
}
~BinaryTreeOperator()
{
DestroyBitree(T);
}
void InitBiTree();   //初始化函数
BiTree CreatBitree(char *str1,char*str2,int i,int j,int k,int l);  //根据先序和后序遍历结果建立二叉树
void DestroyBitree(BiTree T);  //销毁二叉树函数
void PreOrderTraverse(BiTree T);   //递归先序遍历
void InOrderTraverse(BiTree T);   //递归中序遍历
void PostOrderTraverse(BiTree T);    //递归后序遍历
void NOPreOrder();   //非递归先序遍历
void NOInOrder();     //非递归中序遍历
void NOPostOrder();    //非递归后序遍历
void LevelOrderTraverse();  //层次遍历
void display(BiTree T);    //按二叉树形态遍历输出
int BiTreeDepth(BiTree T);    //求二叉树的深度
void computelayer();   //标记二叉树的层数
int lush();
void CountLeaf(BiTree T,int &num);   //数叶子
void Exchange(BiTree T);    //交换左右子树
void JudgeTree();    //判断一棵是否为完全二叉树
};

BiTree BinaryTreeOperator::CreatBitree(char *str1,char*str2,int i,int j,int k,int l)  //根据先序和后序遍历结果建立二叉树
{
int n;
BiTNode *p;
p = new BiTNode;
p->data=str2[l];
n=i;
for (;str1
!=str2[l];n++);
if (n==i)
{
p->lchild=NULL;
}
else
{
p->lchild=CreatBitree(str1,str2,i,n-1,k,k+n-i-1);
}
if (n==j)
{
p->rchild=NULL;
}
else
{
p->rchild=CreatBitree(str1,str2,n+1,j,k+n-i,l-1);
}
return p;
}

void BinaryTreeOperator::InitBiTree()　//初始化二叉树
{
T = new BiTNode;
if (!T)
{
cout<<"初始化失败！"<<endl;
exit(0);
}
T->data=NULL;
T->lchild=NULL;
T->rchild=NULL;
}

void BinaryTreeOperator::DestroyBitree(BiTree T) //销毁二叉树
{
if(T!=NULL)
{
DestroyBitree(T->lchild);
DestroyBitree(T->rchild);
delete T;
}
}

void BinaryTreeOperator::PreOrderTraverse(BiTree T)  //递归先序遍历
{
if(T!=NULL)
{
cout<<T->data<<" ";
PreOrderTraverse(T->lchild);
PreOrderTraverse(T->rchild);
}
}

void BinaryTreeOperator::InOrderTraverse(BiTree T)//递归中序遍历
{
if(T!=NULL)
{
InOrderTraverse(T->lchild);
cout<<T->data<<" ";
InOrderTraverse(T->rchild);
}
}

void BinaryTreeOperator::PostOrderTraverse(BiTree T)//递归后序遍历
{
if(T!=NULL)
{
PostOrderTraverse(T->lchild);
PostOrderTraverse(T->rchild);
cout<<T->data<<" ";
}
}

void BinaryTreeOperator::NOPreOrder()  //非递归先序遍历
{
if (T!=NULL)
{
BiTNode * p;
SqStack S;
InitStack(S);
Push(S,T);
while (!StackEmpty(S))
{
Pop(S,p);
cout<<p->data<<" ";
if (p->rchild!=NULL)
{
Push(S,p->rchild);
}
if (p->lchild!=NULL)
{
Push(S,p->lchild);
}
}
}
}

void BinaryTreeOperator::NOInOrder()  //非递归中序遍历
{
if (T!=NULL)
{
BiTNode * p;
SqStack S;
InitStack(S);
Push(S,T);
while (!StackEmpty(S))
{
while (GetTop(S,p)&&p)
{
Push(S,p->lchild);
}
Pop(S,p);
if (!StackEmpty(S))
{
Pop(S,p);
cout<<p->data<<" ";
Push(S,p->rchild);
}
}
}
}

void BinaryTreeOperator::NOPostOrder()  //非递归后序遍历
{
BiTNode *t;
BiTNode *p;
BiTNode *s;
SqStack Stack;
InitStack(Stack);
t=T;
p=T;
while(t)     //让其一直往左走，并入栈
{
t->flag=0;   //做好标志位，0表示右指数未访问，1表示右指数被访问
Push(Stack,t);
t=t->lchild;
}
while (!StackEmpty(Stack))
{
s=GetTop(Stack);
if(s->rchild==NULL||s->flag==1)   //如果右指数为空或标志位为1则出栈并输出
{
Pop(Stack,p);
cout<<p->data<<" ";
}
else           //并对右子树做相同的操作
{
s->flag=1;
p=s->rchild;
while (p!=NULL)
{
p->flag=0;
Push(Stack,p);
p=p->lchild;
}
}
}   //无需管入栈的，因为下一轮循环会处理好
}

void BinaryTreeOperator::LevelOrderTraverse() //层次遍历
{
int front=0,rear=0;
BiTNode *que[Maxsize];
front=rear;
BiTNode *q;
if(T!=NULL)          //如果传过来的树不为空
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=T;                //根节点入队
while (front!=rear)    //队列不为空
{
front=(front+1)%Maxsize;
q=que[front];        //队头出队
cout<<q->data<<" ";    //访问队头
if (q->lchild!=NULL)       //如果左子树不空，则左子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->lchild;
}
if (q->rchild!=NULL)       //如果右子树不空，则右子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->rchild;
}
}
}
}

void BinaryTreeOperator::display(BiTree T)  //利用层数，横向打印
{
int i;
if (T==NULL)
{
return;
}
display(T->rchild);
for (i=1;i<T->layer;i++)
{
cout<<"    ";
}
cout<<T->data<<endl;
display(T->lchild);
}

int BinaryTreeOperator::BiTreeDepth(BiTree T) //计算二叉树深度
{
int L,R;
if(T==NULL)
return 0;
else
{
L=BiTreeDepth(T->lchild);
R=BiTreeDepth(T->rchild);
return (L>R?L:R)+1;
}
}

void BinaryTreeOperator::computelayer()  //计算层数
{
int front=0,rear=0;
BiTNode *que[Maxsize];
front=rear;
BiTNode *q;
if(T!=NULL)          //如果传过来的树不为空
{
T->layer=1;
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=T;                //根节点入队
while (front!=rear)    //队列不为空
{
front=(front+1)%Maxsize;
q=que[front];        //队头出队
if (q->lchild!=NULL)       //如果左子树不空，则左子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->lchild;
que[rear]->layer=q->layer+1;    //计算一下层数
}
if (q->rchild!=NULL)       //如果右子树不空，则右子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->rchild;
que[rear]->layer=q->layer+1;  //计算一下层数
}
}
}
}

void BinaryTreeOperator::CountLeaf(BiTree T,int &num) //数叶子节点个数
{
if(T!=NULL)
{
if (T->lchild==NULL&&T->lchild==NULL)
{
num++;
}
CountLeaf(T->lchild,num);
CountLeaf(T->rchild,num);
}
}

void BinaryTreeOperator::Exchange(BiTree T) //交换左右子树
{
if(T!=NULL)
{
BiTNode * p;
p=T->lchild;
T->lchild=T->rchild;
T->rchild=p;
Exchange(T->lchild);
Exchange(T->rchild);
}
}

void BinaryTreeOperator::JudgeTree()  //判断是否是完全二叉树
{
int front=0,rear=0;
BiTNode *que[Maxsize];
front=rear;
BiTNode *q;
int flag=0;
if(T!=NULL)          //如果传过来的树不为空
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=T;                //根节点入队
while (front!=rear)    //队列不为空
{
front=(front+1)%Maxsize;
q=que[front];        //队头出队
if (q==NULL)
{
while (front!=rear)
{
front=(front+1)%Maxsize;  //根据完全二叉树的性质，层次遍历中若出现空节点后面出现其他节点则不是完全二叉树
if (que[front]!=NULL)
{
flag=1;
}
}
}
else
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->lchild;
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->rchild;
}
}
}
if (flag==1)
{
cout<<"不是完全二叉树！"<<endl;
}
else
{
cout<<"是完全二叉树！"<<endl;
}
}

int BinaryTreeOperator::lush()  //计算繁茂度
{
computelayer();   //将层数标记好
int C[10]={0};
int max;
int front=0,rear=0;
BiTNode *que[Maxsize];
front=rear;
BiTNode *q;
if(T!=NULL)          //如果传过来的树不为空
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=T;                //根节点入队
while (front!=rear)    //队列不为空
{
front=(front+1)%Maxsize;
q=que[front];        //队头出队
C[q->layer]++;     //入队的时候对层数进行累加
if (q->lchild!=NULL)       //如果左子树不空，则左子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->lchild;
}
if (q->rchild!=NULL)       //如果右子树不空，则右子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->rchild;
}
}
}
max=C[1];
for (int i=2;i<=q->layer;i++)
{
if (C[i]>max)
{
max=C[i];
}
}
return max*BiTreeDepth(T);
}

int main()
{
int i=0,j=20,k=0,l=20;
int choice;
bool loop=true;
BinaryTreeOperator Tree;
char str1[81];
char str2[81];
int num=0;
fstream Bitreef("Bitree.txt",ios::in);
if (!Bitreef)
{
cout<<"打开Bitree.txt文件失败"<<endl;
exit(0);
}
Bitreef.getline(str1,81);
Bitreef.getline(str2,81);
while(loop)
{
cout<<"     ***************二叉树应用****************\n";
cout<<"     *   1.建立二叉树         *\n";
cout<<"     *   2.递归先序遍历            *\n";
cout<<"     *   3.递归中序遍历            *\n";
cout<<"     *   4.递归后序遍历            *\n";
cout<<"     *   5.非递归先序遍历       *\n";
cout<<"     *   6.非递归中序遍历       *\n";
cout<<"     *   7.非递归后序遍历       *\n";
cout<<"     *   8.层次遍历              *\n";
cout<<"     *   9.按形态输出         *\n";
cout<<"     *   10.二叉树的深度       *\n";
cout<<"     *   11.二叉树的繁茂度      *\n";
cout<<"     *   12.叶子数目             *\n";
cout<<"     *   13.交换左右子树           *\n";
cout<<"     *   14.判断是否为完全二叉树         *\n";
cout<<"     *   15.退出程序             *\n";
cout<<"     *****************************************\n";
cin>>choice;

switch(choice)
{
case 1:
Tree.T=Tree.CreatBitree(str1,str2,i,j,k,l);
break;
case 2:
Tree.PreOrderTraverse(Tree.T);
cout<<endl;
break;
case 3:
Tree.InOrderTraverse(Tree.T);
cout<<endl;
break;
case 4:
Tree.PostOrderTraverse(Tree.T);
cout<<endl;
break;
case 5:
Tree.NOPreOrder();
cout<<endl;
break;
case 6:
Tree.NOInOrder();
cout<<endl;
break;
case 7:
Tree.NOPostOrder();
cout<<endl;
break;
case 8:
Tree.LevelOrderTraverse();
cout<<endl;
break;
case 9:
Tree.computelayer();
Tree.display(Tree.T);
break;
case 10:
cout<<"二叉树的深度是："<<Tree.BiTreeDepth(Tree.T)<<endl;
break;
case 11:
cout<<"二叉树的繁茂度是："<<Tree.lush()<<endl;
break;
case 12:
num=0;
Tree.CountLeaf(Tree.T,num);
cout<<"二叉树的叶子数是："<<num<<endl;
break;
case 13:
Tree.Exchange(Tree.T);
break;
case 14:
Tree.JudgeTree();
break;
case 15:
loop=false;
break;
}
}
return 0;
}

5.总结

　　二叉树的题目，大多通过深搜和广搜来解决。能理解其中的思想才是关键。比如在深搜的时候，要理解什么时候往下走（递归开始进入左右子树时），什么时候往上走（递归左右子树完成后）。能动态的理解整个搜索的过程（对于二叉树图能画出遍历过程）对解题将会有很大的帮助。