埃及分数问题-迭代加深搜索与IDA*算法

本文转载自埃及分数问题浅谈对迭代加深搜索的理解

迭代加深搜索一般用来求解状态树非常深，甚至深度可能趋于无穷，但是目标状态浅的问题。如果用普通的DFS去求解，往往效率不够高。此时我们可以对DFS进行一些改进。最直观的一种办法是增加一个搜索的最大深度限制maxd，一般是从1开始。每次搜索都要在maxd深度之内进行，如果没有找到解，就继续增大maxd，直到成功找到解，然后break。如下图所示，DFS遍历9个结点才能找到结点3；迭代加深搜索遍历3个结点就可以找到结点3。



在使用迭代加深搜索时，通常还要引入一个估价函数h()来预测从当前深度还有至少多少步才能到达目标状态。假设当前在第cur层，当cur+h(cur)>maxd时候，就说明不论怎么走，都不可能在maxd的限制之内找到目标状态，此时就可以进行剪枝操作。这样带有估价函数的迭代加深搜索就是IDA*算法。为了更好的理解该算法，下面以埃及分数这一经典的例子来作为说明。在古埃及，人们使用单位分数的和(即1/a,a是自然数)来表示一切有理数，例如，2/3=1/2+1/6，但是不允许2/3=1/3+1/3，因为在加数中不允许有相同的。对于一个分数a/b，表示的方法有很多种，其中加数少的比加数多的好，如果加数个数相同，那么最小的分数越大越好；如果最小的分数也相同，那么次小的分数越大越好，以此类推。输入两个整数a,b(0<a<b<500)，试编程计算最佳表达式。

样例输入：

495 499

样例输出：

2 5 6 8 3992 14970

首先，根据题意可以发现，本题的解答树非常的庞大，不仅深度没有明显的上界，而且在理论上加数的选择也是无限的，即每一层的结点数量也是无限的。这样的话，如果使用普通的BFS，第一层都扩展不完。然而本题要实现两个目标：加数的个数尽量少；最小的那个分数尽量大，即最大的分母尽量小。为了实现第一个目标，我们自然想到可以逐一枚举可能的个数，设maxd表示一共有maxd+1个分数相加恰好等于a/b(下标从0开始)，按照这样的思路，一定可以找到加数最少的解。接下来考虑如何实现第二个目标。第二个目标其实是在告诉我们如果存在多解的时候，要更新当前找到的最优解。这里容易犯的一个错误是：找到了解之后立即全部return
true。这样的写法只能实现目标1，并没有真正实现目标2。正确的做法应该是找到了一组解后，继续返回上一层继续新的搜索。假设当前已经在第cur层，即0~cur的所有的分母都已经确定了，剩下的分数是aa/bb。再假设我们此时需要从分母i>=from的数开始寻找，不难发现，如果(maxd+1-d)*(1/i)≤aa/bb，即剩下的分数全部都为1/i时候，它们的和才刚好等于aa/bb。而实际情况是分母不允许重复出现，即实际的和肯定小于(maxd+1-d)*(1/i)，这个时候如果i继续增加，(maxd+1-d)*(1/i)只会更小于aa/bb，情况更糟糕，因此在此处应该停止枚举。这样，我们就分析出来了正确的停止搜索的条件：当出现(maxd+1-d)*(1/i)≤aa/bb时break。通过以上分析，我们还确定出来了dfs时候的入口参数：cur表示当前在第cur层，from表示第cur层分母的起点，
aa表示剩下的分数的分子，bb表示剩下的分数的分母。

参考代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000;
int maxd;
int ans
,bestans
;

//找到第一个小于x/y的单位分数的分母
int get_first(int x,int y)
{
int res=y/x;
return res*x>=y?res:res+1;
}

//求a和b的最大公约数
ll gcd(ll a,ll b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

//更新当前的解
bool update(int d)
{
for(int i=d;i>=0;i--)
{
if(ans[i]!=bestans[i]) return bestans[i]==-1||ans[i]<bestans[i];
}
//由于分母是由小到大存储因此逆序枚举
return false;
}

bool dfs(int d,int from,ll aa,ll bb)
{
if(d==maxd)
{
if(bb%aa) return false;
//如果不能整除搜索失败
ans[d]=bb/aa;
if(update(d)) memcpy(bestans,ans,sizeof(ll)*(d+1));
return true;
}
bool ok=false;
from=max(from,get_first(aa,bb));
//假设第d-1个分数的分母是a,第d个分数的分母不一定要从a+1开始,还要考虑1/(a+1)是否小于等于aa/bb
for(int i=from;;i++)
{
if(bb*(maxd+1-d)<=i*aa) break;
ans[d]=i;
//枚举新的分母
ll b2=bb*i;
ll a2=aa*i-bb;
//计算aa/bb-1/i的分子分母
ll g=gcd(a2,b2);
//计算最大公约数进行约分
if(dfs(d+1,i+1,a2/g,b2/g)) ok=true;
//不要写成return true,因为找到一组解并不能当做停止枚举的条件
}
return ok;
}

int main()
{
int a,b;
while(~scanf("%d%d",&a,&b))
{
int ok=0;
for(maxd=1;;maxd++)
//迭代加深搜索的主体框架,maxd要设置为全局变量
{
memset(bestans,-1,sizeof(bestans));
if(dfs(0,get_first(a,b),a,b))
{
ok=1;
break;
}
}
for(int i=0;i<=maxd;i++) printf("%d ",bestans[i]);
printf("\n");
}
}