B-树(B+树) 学习总结

一，B-树的定义及介绍

为什么会有B-树？

熟悉的树的结构有二叉树查找树或者平衡二叉树……平衡二叉树保证最坏情况下各个操作的时间复杂度为O(logN)，但是为了保持平衡，在插入或删除元素时，需要进行旋转啊...一系列操作，因此实现起来比较复杂。而对于二叉查找树，基本操作在最坏情况下会出现O(N)的时间复杂度。总之，这些树都是针对于内存中的数据操作，它们每个结点最多只有两个孩子，当数据量大时(结点数目很多)，就会导致树很高。但由于基本操作(查找元素、插入元素)都是在内存中实现，因此，树高点也就没有太大的关系。

试想，如果树中的结点数据 是存储在磁盘上的，每访问一个结点需要进行一次磁盘的读取操作，那么树的高度就很重要了。因为，磁盘访问的代价(速度)远远大于内存访问的代价。对于7200转的硬盘而言，访问一次磁盘大约需要8.3ms，而对于4GHz的CPU而言，8.3ms不知可以执行多少次指令了。

因此，B树一个很重要的特征就是：高度小。

那如何让高度变小呢？让每个结点可以拥有多个(远远大于2)孩子就可以了。但是，为了在插入、删除中仍然保持B树的性质(比如高度要低)，还需要对B树做一些其他方面的规定：(实际实现过程中可能不同)。

其中最重要的规定是：每个结点最多包含多少个关键字(项)，最少需要包含多少个关键字。

这里，给出一个具体的M阶 B树定义（《数据结构与算法分析》MAW著）

①数据项 只存储在树叶上。（数据项就是实实在在的数据，而不是索引）

②非叶子结点最多可以 存储 M-1个关键字以指示搜索的方向(这里的关键字是指索引)。

这里的M-1个关键字是按从小到大的顺序排序的。M-1个关键字，就有M个指针，指向进一步查找的路径。

③树的根或者是一片树叶，或者其儿子数在 2 到 M之间

④除根外，所有非树叶节点的儿子数在 【M/2】 和 M 之间 【M/2】表示，M/2并向上取整

非叶子结点的儿子数最少为【M/2】，这就是为了保证每个结点足够多的孩子，从而使树的高度不至于太大。

⑤所有的树叶都在相同的深度上并有【L/2】 和 L 个数据项

这里表明，真正的数据只存储在叶子结点上。非叶子结点只存储索引。

在上面的具体规定中，M 和 L 是如何确定的呢？

M 和 L的确定与磁盘块的大小相关。对于B树而言，每个结点都尽量占据一个磁盘块。

比如，假设有 1千万数据项，每个关键字(索引)是32B，而每个数据项是256B，磁盘块的大小是8192B，如何确定M 和 L 呢？

由于M阶B树中，每个结点最多有 M-1 个关键字，故关键字总大小为 32M-32，M-1个关键字最多有M个分支指针，假设每个分支指针是4B(字节)，故分支指针的大小是4*M个字节。那么对于一个非叶子结点，它的大小是36*M-32 字节，由于磁盘块大小是8192，故M = 8192/(36*M-32) = 228

(注意：这里的“关键字”其实类似于数据项，待插入的数据项 就是 通过比较关键字 来确定走哪条分支指针)

由上面的第5点可知，叶子结点只存储数据项，每个数据项大小为256B，故 L=8192/256=32，这说明每个叶子结点可以存储32个数据项。

M 与关键字以及指针的大小有关，而L与数据项的大小有关。总之，目标是：不管是叶结点还是非叶结点，都尽量保证一个结点占据一个磁盘块。

二，B树的基本操作

1）查找操作

查找操作的伪代码如下：《算法导论》这里的B树中数据项可存储在非叶子结点上。

B-TREE-SEARCH(x,k)
i = 1
while i<= M' and k > key(i)
i++
if i<=M' and k=key(i)
return (x,i)
if leaf(x)
return NIL
else
DISK-READ(child(x(i)))
return B-TREE-SEARCH(child(x(i)),k)

x实际上代表根结点。第3行，扫描结点上所有的数据项看是否与k匹配，若不匹配且结点不是叶子结点，则需要在第10行进行一次磁盘读取操作，将该结点中某数据项指向的孩子结点读入内存，再进行比较。

2）插入操作

插入操作可能会导致结点分裂。插入操作的具体实现细节可能与这里描述的不一样。

比如，向一个已经满了的叶结点插入一个数据项时，该叶结点分裂成两个结点，并将中间数据项上移到该结点的双亲结点。

3）删除操作

删除操作可能会导致结点合并。具体描述参考算法导论。

比如，还可以这样来处理：当某个节点不包含的数据项已经达到最小时，可以从邻节点 “领养” 一个数据项。当邻节点也不足时，则将这两个节点合并成一个节点。

三，B树与B+树的主要区别

最主要的区别就是：B树中非叶子结点可以存储数据，而B+树非叶子结点只存储索引，所有的数据都放在叶子结点上存储，且所有的叶子结点到根的距离是一样的(叶子结点都在同一层)。

参考：B树学习总结
https://www.tutorialcup.com/dbms/b-tree.htm