codeforces round 17 D(扩展欧拉函数的应用)

链接：http://codeforces.com/contest/17/problem/D

题意，给你三个数，b，n，c

求(b-1)*(b)^(n-1)%c，结果等于0输出c，不等于0输出结果；

数据范围：

2<=b<=10^(10^6),1<=n<=10^(10^6),1<=c<=10^9。

首先b很好就能用模运算求出。需要解决的最大问题是如何降幂。

想到一个方法：欧拉函数phi（）：

对于a^b%c就这样一个性质

当a，c互质时有a^phi(c)=1(mod c),

那么就有a^(b* b/phi(c))*a^(b%phi(c)),

a^(b*b/phi(c))=1(mod c).

所以a^b%c=a^(b%phi(c)).

但是这个题目上并没有说明，a与c互质。所以不能用这个方法。

之后在看到了扩展的欧拉函数用于降幂：

a^b %c= a^(b%phi(c)+phi(c)) %c （b>=phi(c)）

证明见q神给的链接：

http://littleclown.github.io/2016/05/10/Study-Math-Mod-Euler/

ac代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL __int64
using namespace std;
int Eular(int n)
{
int m=(int)sqrt(n+0.5);
int ans=n;
for(int i=2;i<=m;i++)
{
if(n%i==0)
{
ans=ans/i*(i-1);
}
while(n%i==0)
n/=i;
}
if(n>1)
ans=ans/n*(n-1);
return ans;
}
LL quick_pow(LL ans,int poww,LL mod)
{
LL  r=1,base=ans;
while(poww!=0)
{
if(poww%2)
r=(r*base)%mod;
base=(base*base)%mod;
poww/=2;
}
return r;

}
int main()
{
char b[1000005],n[1000005];
LL c;
scanf("%s%s%I64d",b,n,&c);
int lenb=strlen(b);
LL ans1=0,ans2=0;
for(int i=0;i<lenb;i++)
{
ans1=(ans1*10+b[i]-'0')%c;
}
ans2=(ans1-1+c)%c;
int lenn=strlen(n);
{
int i=lenn-1;
while(n[i]=='0')n[i]='9',--i;
n[i]--;
}
int phic=Eular(c);
LL poww=0;
int flag=0;
for(int i=0;i<lenn;i++)
{
if(!flag)
poww=(poww*10+n[i]-'0');
else
poww=(poww*10+n[i]-'0')%phic;
if(poww>=phic)
flag=1;
}
if(flag)
poww=poww+phic;
ans1=quick_pow(ans1,poww,c);
ans1=ans1*ans2%c;
if(ans1==0)
{
printf("%I64d\n",c);
}
else
{
printf("%I64d\n",ans1);
}
return 0;
}