扩展欧几里得算法求解模线性方程

求解模线性方程组

求解线性不定方程组

ax + by = c

先求出一组解， 然后考虑如何表示通解， 设d = gcd(a, b), 假设c不是d的倍数， 则左边是d的倍数而右边不是， 则方程无解， 所以方程有解当且仅当d | c.

设c = c’ * d, 我们先考虑方程 ax + by = d, 这样由扩展gcd便可求出一组解 （x’, y’), 则（c’x’, c’y’)就是原方程的一组解，然后考虑通解：

假设有两组解(x1, y2) , (x2, y2), 有 ax1 + by1 == ax2 + by2 = c, 移项得： a(x1 - x2) == b(y2 - y1), 消去d后有 a’(x1 - x2) == b’(y2 - y1),

此时a’ 和 b’ 互素， 所以（x1 - x2)一定是b’的倍数， 而(y2 - y1)一定是a’的倍数， 由此可得到通解：给一组特解(x, y), 通解为(x - kb’, y + ka’).

求解模线性方程

ax = b(mod n)

其实方程等价于 ax - ny = b, 标准模线性方程，但是得考虑剩余系。

算法导论上有两个定理：

定理一：设d = gcd(a, n), 假定对整数x’, y’, 有d = ax’ + ny’， 如果d | b, 则方程ax = b(mod)有一个解的值为x0, 满足：、

x0 = x'(b / d)(mod n)

定理二：假设方程ax = b(mod n)有解， x0是方程的任意一个解， 则方程对模n恰有d个不同的解， 分别为： xi = x0 + i * (n / d), 其中 i = 1,2,3……d - 1

有了这两个定理， 解方程就不难了。

代码实现

扩展欧几里得算法

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
ll t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}

求解模线性方程求的的只是一组解给一组特解(x, y), 通解为(x - kb’, y + ka’).改代码返回满足x>0&&y>0的最小解。

bool linear_equation(ll a,ll b,ll c,ll &x,ll &y)
{
ll d=exgcd(a,b,x,y);
if(c%d)
return false;
ll k=c/d;
x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
ll b1 = b/d;
ll a1 = a/d;
ll i = 0;

//cout<<x<<" "<<y<<endl;
if(y<0){
while (y<=0){
y+=a1;
x-=b1;

}
}
while (y-a1>=0){
y-=a1;
x+=b1;
}
if(y>=0&&x>=0){
return true;
} else{
return false;
}

}