回溯法

1、概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

3、用回溯法解题的一般步骤：

（1）针对所给问题，确定问题的解空间：

首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

（2）确定结点的扩展搜索规则

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4、算法框架

（1）问题框架

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

（2）非递归回溯框架

int a
,i;
初始化数组a[];
i = 1;
while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头
{
if(i > n)   // 搜索到叶结点
{
搜索到一个解，输出；
}
else   // 处理第i个元素
{
a[i]第一个可能的值；
while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
{
a[i]下一个可能的值；
}
if(a[i]在搜索空间内)
{
标识占用的资源；
i = i+1;            // 扩展下一个结点
}
else
{
清理所占的状态空间；            // 回溯
i = i –1;
}
}

（3）递归的算法框架

回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。

t是递归深度；

n是深度控制，即解空间树的的高度；

可行性判断有两方面的内容：不满约束条件则剪去相应子树；若限界函数越界，也剪去相应子树；两者均满足则进入下一层；

void backtracking (int t)
{
if (t > n) {
// 到达叶子结点，将结果输出
output (x);
}
else {
// 遍历结点t的所有子结点，即枚举t所有可能的路径
// f(n,t)=下界;g(n,t)=上界;
for (int i = f(n,t); i <= g(n,t); i ++ ) {//
x[t] = h[i];//满足界限函数和约束函数
// 如果不满足剪枝条件，则继续遍历，进入下一层
if (constraint (t) && bound (t))
backtrack (t + 1);
}
}
}

5、应用举例

1、输出不重复数字的全排列

public void permutaion(int[] array,int k,int length)
{
int i;
if (length==k) {
for(i=0;i<length;i++)
System.out.print(array[i]);
System.out.println();
return;
}

for(i=k;i<length;i++) {
swap(array[i],array[k]);
permutaion(array,k+1,length);
swap(array[i],array[k]);//回溯
}
}