数据结构之AVL树

AVL树是高度平衡的而二叉树。它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。



旋转

如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图：





1) LL：LeftLeft，也称为”左左”。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。

例如，在上面LL情况中，由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点”，而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”；导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

(2) LR：LeftRight，也称为”左右”。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。

例如，在上面LR情况中，由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点”，而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”；导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

(3) RL：RightLeft，称为”右左”。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。

例如，在上面RL情况中，由于”根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点”，而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”；导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

(4) RR：RightRight，称为”右右”。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。

例如，在上面RR情况中，由于”根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点”，而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”；导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

前面说过，如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡，下面分别介绍”LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)”这4种情况对应的旋转方法。

2.1 LL的旋转

LL失去平衡的情况，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图：

/*
* LL：左左对应的情况(左单旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2)
{
AVLTreeNode<T>* k1;

k1 = k2->left;
k2->left = k1->right;
k1->right = k2;

k2->height = max( height(k2->left), height(k2->right)) + 1;
k1->height = max( height(k1->left), k2->height) + 1;

return k1;
}

2.2 RR的旋转

理解了LL之后，RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况！RR恢复平衡的旋转方法如下：

/*
* RR：右右对应的情况(右单旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{
AVLTreeNode<T>* k2;

k2 = k1->right;
k1->right = k2->left;
k2->left = k1;

k1->height = max( height(k1->left), height(k1->right)) + 1;
k2->height = max( height(k2->right), k1->height) + 1;

return k2;
}

2.3 LR的旋转

LR失去平衡的情况，需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图：

/*
* LR：左右对应的情况(左双旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3)
{
k3->left = rightRightRotation(k3->left);

return leftLeftRotation(k3);
}

2.4 RL的旋转

RL是与LR的对称情况！RL恢复平衡的旋转方法如下：

/*
* RL：右左对应的情况(右双旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{
k1->right = leftLeftRotation(k1->right);

return rightRightRotation(k1);
}

完整代码

#ifndef _AVL_TREE_HPP_
#define _AVL_TREE_HPP_

#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;

template <class T>
class AVLTreeNode{
public:
T key;                // 关键字(键值)
int height;         // 高度
AVLTreeNode *left;    // 左孩子
AVLTreeNode *right;    // 右孩子

AVLTreeNode(T value, AVLTreeNode *l, AVLTreeNode *r):
key(value), height(0),left(l),right(r) {}
};

template <class T>
class AVLTree {
private:
AVLTreeNode<T> *mRoot;    // 根结点

public:
AVLTree();
~AVLTree();

// 获取树的高度
int height();
// 获取树的高度
int max(int a, int b);

// 前序遍历"AVL树"
void preOrder();
// 中序遍历"AVL树"
void inOrder();
// 后序遍历"AVL树"
void postOrder();

// (递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点
AVLTreeNode<T>* search(T key);
// (非递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点
AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(T key);

// 查找最小结点：返回最小结点的键值。
T minimum();
// 查找最大结点：返回最大结点的键值。
T maximum();

// 将结点(key为节点键值)插入到AVL树中
void insert(T key);

// 删除结点(key为节点键值)
void remove(T key);

// 销毁AVL树
void destroy();

// 打印AVL树
void print();
private:
// 获取树的高度
int height(AVLTreeNode<T>* tree) ;

// 前序遍历"AVL树"
void preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
// 中序遍历"AVL树"
void inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
// 后序遍历"AVL树"
void postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;

// (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
AVLTreeNode<T>* search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;
// (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;

// 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
AVLTreeNode<T>* minimum(AVLTreeNode<T>* tree);
// 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
AVLTreeNode<T>* maximum(AVLTreeNode<T>* tree);

// LL：左左对应的情况(左单旋转)。
AVLTreeNode<T>* leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2);

// RR：右右对应的情况(右单旋转)。
AVLTreeNode<T>* rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1);

// LR：左右对应的情况(左双旋转)。
AVLTreeNode<T>* leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3);

// RL：右左对应的情况(右双旋转)。
AVLTreeNode<T>* rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1);

// 将结点(z)插入到AVL树(tree)中
AVLTreeNode<T>* insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key);

// 删除AVL树(tree)中的结点(z)，并返回被删除的结点
AVLTreeNode<T>* remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z);

// 销毁AVL树
void destroy(AVLTreeNode<T>* &tree);

// 打印AVL树
void print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction);
};

/*
* 构造函数
*/
template <class T>
AVLTree<T>::AVLTree():mRoot(NULL)
{
}

/*
* 析构函数
*/
template <class T>
AVLTree<T>::~AVLTree()
{
destroy(mRoot);
}

/*
* 获取树的高度
*/
template <class T>
int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree)
{
if (tree != NULL)
return tree->height;

return 0;
}

template <class T>
int AVLTree<T>::height()
{
return height(mRoot);
}
/*
* 比较两个值的大小
*/
template <class T>
int AVLTree<T>::max(int a, int b)
{
return a>b ? a : b;
}

/*
* 前序遍历"AVL树"
*/
template <class T>
void AVLTree<T>::preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
{
if(tree != NULL)
{
cout<< tree->key << " " ;
preOrder(tree->left);
preOrder(tree->right);
}
}

template <class T>
void AVLTree<T>::preOrder()
{
preOrder(mRoot);
}

/*
* 中序遍历"AVL树"
*/
template <class T>
void AVLTree<T>::inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
{
if(tree != NULL)
{
inOrder(tree->left);
cout<< tree->key << " " ;
inOrder(tree->right);
}
}

template <class T>
void AVLTree<T>::inOrder()
{
inOrder(mRoot);
}

/*
* 后序遍历"AVL树"
*/
template <class T>
void AVLTree<T>::postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
{
if(tree != NULL)
{
postOrder(tree->left);
postOrder(tree->right);
cout<< tree->key << " " ;
}
}

template <class T>
void AVLTree<T>::postOrder()
{
postOrder(mRoot);
}

/*
* (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const
{
if (x==NULL || x->key==key)
return x;

if (key < x->key)
return search(x->left, key);
else
return search(x->right, key);
}

template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::search(T key)
{
return search(mRoot, key);
}

/*
* (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const
{
while ((x!=NULL) && (x->key!=key))
{
if (key < x->key)
x = x->left;
else
x = x->right;
}

return x;
}

template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::iterativeSearch(T key)
{
return iterativeSearch(mRoot, key);
}

/*
* 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::minimum(AVLTreeNode<T>* tree)
{
if (tree == NULL)
return NULL;

while(tree->left != NULL)
tree = tree->left;
return tree;
}

template <class T>
T AVLTree<T>::minimum()
{
AVLTreeNode<T> *p = minimum(mRoot);
if (p != NULL)
return p->key;

return (T)NULL;
}

/*
* 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::maximum(AVLTreeNode<T>* tree)
{
if (tree == NULL)
return NULL;

while(tree->right != NULL)
tree = tree->right;
return tree;
}

template <class T>
T AVLTree<T>::maximum()
{
AVLTreeNode<T> *p = maximum(mRoot);
if (p != NULL)
return p->key;

return (T)NULL;
}

/*
* LL：左左对应的情况(左单旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2)
{
AVLTreeNode<T>* k1;

k1 = k2->left;
k2->left = k1->right;
k1->right = k2;

k2->height = max( height(k2->left), height(k2->right)) + 1;
k1->height = max( height(k1->left), k2->height) + 1;

return k1;
}

/*
* RR：右右对应的情况(右单旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{
AVLTreeNode<T>* k2;

k2 = k1->right;
k1->right = k2->left;
k2->left = k1;

k1->height = max( height(k1->left), height(k1->right)) + 1;
k2->height = max( height(k2->right), k1->height) + 1;

return k2;
}

/*
* LR：左右对应的情况(左双旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3)
{
k3->left = rightRightRotation(k3->left);

return leftLeftRotation(k3);
}

/*
* RL：右左对应的情况(右双旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{
k1->right = leftLeftRotation(k1->right);

return rightRightRotation(k1);
}

/*
* 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
*
* 参数说明：
*     tree AVL树的根结点
*     key 插入的结点的键值
* 返回值：
*     根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key)
{
if (tree == NULL)
{
// 新建节点
tree = new AVLTreeNode<T>(key, NULL, NULL);
if (tree==NULL)
{
cout << "ERROR: create avltree node failed!" << endl;
return NULL;
}
}
else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况
{
tree->left = insert(tree->left, key);
// 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2)
{
if (key < tree->left->key)
tree = leftLeftRotation(tree);
else
tree = leftRightRotation(tree);
}
}
else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况
{
tree->right = insert(tree->right, key);
// 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2)
{
if (key > tree->right->key)
tree = rightRightRotation(tree);
else
tree = rightLeftRotation(tree);
}
}
else //key == tree->key)
{
cout << "添加失败：不允许添加相同的节点！" << endl;
}

tree->height = max( height(tree->left), height(tree->right)) + 1;

return tree;
}

template <class T>
void AVLTree<T>::insert(T key)
{
insert(mRoot, key);
}

/*
* 删除结点(z)，返回根节点
*
* 参数说明：
*     tree AVL树的根结点
*     z 待删除的结点
* 返回值：
*     根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z)
{
// 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回NULL。
if (tree==NULL || z==NULL)
return NULL;

if (z->key < tree->key)        // 待删除的节点在"tree的左子树"中
{
tree->left = remove(tree->left, z);
// 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2)
{
AVLTreeNode<T> *r =  tree->right;
if (height(r->left) > height(r->right))
tree = rightLeftRotation(tree);
else
tree = rightRightRotation(tree);
}
}
else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中
{
tree->right = remove(tree->right, z);
// 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2)
{
AVLTreeNode<T> *l =  tree->left;
if (height(l->right) > height(l->left))
tree = leftRightRotation(tree);
else
tree = leftLeftRotation(tree);
}
}
else    // tree是对应要删除的节点。
{
// tree的左右孩子都非空
if ((tree->left!=NULL) && (tree->right!=NULL))
{
if (height(tree->left) > height(tree->right))
{
// 如果tree的左子树比右子树高；
// 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
//   (02)将该最大节点的值赋值给tree。
//   (03)删除该最大节点。
// 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
// 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
AVLTreeNode<T>* max = maximum(tree->left);
tree->key = max->key;
tree->left = remove(tree->left, max);
}
else
{
// 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
// 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
//   (02)将该最小节点的值赋值给tree。
//   (03)删除该最小节点。
// 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
// 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
AVLTreeNode<T>* min = maximum(tree->right);
tree->key = min->key;
tree->right = remove(tree->right, min);
}
}
else
{
AVLTreeNode<T>* tmp = tree;
tree = (tree->left!=NULL) ? tree->left : tree->right;
delete tmp;
}
}

return tree;
}

template <class T>
void AVLTree<T>::remove(T key)
{
AVLTreeNode<T>* z;

if ((z = search(mRoot, key)) != NULL)
mRoot = remove(mRoot, z);
}

/*
* 销毁AVL树
*/
template <class T>
void AVLTree<T>::destroy(AVLTreeNode<T>* &tree)
{
if (tree==NULL)
return ;

if (tree->left != NULL)
destroy(tree->left);
if (tree->right != NULL)
destroy(tree->right);

delete tree;
}

template <class T>
void AVLTree<T>::destroy()
{
destroy(mRoot);
}

/*
* 打印"二叉查找树"
*
* key        -- 节点的键值
* direction  --  0，表示该节点是根节点;
*               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
*                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
*/
template <class T>
void AVLTree<T>::print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction)
{
if(tree != NULL)
{
if(direction==0)    // tree是根节点
cout << setw(2) << tree->key << " is root" << endl;
else                // tree是分支节点
cout << setw(2) << tree->key << " is " << setw(2) << key << "'s "  << setw(12) << (direction==1?"right child" : "left child") << endl;

print(tree->left, tree->key, -1);
print(tree->right,tree->key,  1);
}
}

template <class T>
void AVLTree<T>::print()
{
if (mRoot != NULL)
print(mRoot, mRoot->key, 0);
}
#endif

测试代码

/**
* C 语言: AVL树
*
* @author skywang
* @date 2013/11/07
*/

#include <iostream>
#include "start.h"
using namespace std;

static int arr[]= {3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9};
#define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )

int main()
{
int i,ilen;
AVLTree<int>* tree=new AVLTree<int>();

cout << "== 依次添加: ";
ilen = TBL_SIZE(arr);
for(i=0; i<ilen; i++)
{
cout << arr[i] <<" ";
tree->insert(arr[i]);
}

cout << "\n== 前序遍历: ";
tree->preOrder();

cout << "\n== 中序遍历: ";
tree->inOrder();

cout << "\n== 后序遍历: ";
tree->postOrder();
cout << endl;

cout << "== 高度: " << tree->height() << endl;
cout << "== 最小值: " << tree->minimum() << endl;
cout << "== 最大值: " << tree->maximum() << endl;
cout << "== 树的详细信息: " << endl;
tree->print();

i = 8;
cout << "\n== 删除根节点: " << i;
tree->remove(i);

cout << "\n== 高度: " << tree->height() ;
cout << "\n== 中序遍历: " ;
tree->inOrder();
cout << "\n== 树的详细信息: " << endl;
tree->print();

// 销毁二叉树
tree->destroy();
system("pause");
return 0;
}

References

AVL树(二)之 C++的实现 - 如果天空不死 - 博客园

效果如下