数据结构之二叉堆

二叉堆的介绍

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，按照数据的排列方式可以分为两种：最大堆和最小堆。

最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；

最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

示意图如下：



二叉堆一般都通过”数组”来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将”二叉堆的第一个元素”放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，只是实现上稍微有一丁点区别。

假设”第一个元素”在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：

(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);

(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);

(03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);

实现

以最大堆为例

template <class T>
class MaxHeap{
private:
T *mHeap;        // 数据
int mCapacity;    // 总的容量
int mSize;        // 实际容量

private:
// 最大堆的向下调整算法
void filterdown(int start, int end);
// 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
void filterup(int start);
public:
MaxHeap();
MaxHeap(int capacity);
~MaxHeap();

// 返回data在二叉堆中的索引
int getIndex(T data);
// 删除最大堆中的data
int remove(T data);
// 将data插入到二叉堆中
int insert(T data);
// 打印二叉堆
void print();
};

添加

假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下



如上图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！

将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

/*
* 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterup(int start)
{
int c = start;            // 当前节点(current)的位置
int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置
T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小

while(c > 0)
{
if(mHeap[p] >= tmp)
break;
else
{
mHeap[c] = mHeap[p];
c = p;
p = (p-1)/2;
}
}
mHeap[c] = tmp;
}

/*
* 将data插入到二叉堆中
*
* 返回值：
*     0，表示成功
*    -1，表示失败
*/
template <class T>
int MaxHeap<T>::insert(T data)
{
// 如果"堆"已满，则返回
if(mSize == mCapacity)
return -1;

mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾
filterup(mSize);    // 向上调整堆
mSize++;                    // 堆的实际容量+1

return 0;
}

删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：

/*
* 最大堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end)
{
int c = start;          // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小

while(l <= end)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])
l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
if(tmp >= mHeap[l])
break;        //调整结束
else
{
mHeap[c] = mHeap[l];
c = l;
l = 2*l + 1;
}
}
mHeap[c] = tmp;
}

/*
* 删除最大堆中的data
*
* 返回值：
*      0，成功
*     -1，失败
*/
template <class T>
int MaxHeap<T>::remove(T data)
{
int index;
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(mSize == 0)
return -1;

// 获取data在数组中的索引
index = getIndex(data);
if (index==-1)
return -1;

mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补
filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆

return 0;
}

二叉堆的C++实现(完整源码)

/**
* 二叉堆(最大堆)
*
* @author skywang
* @date 2014/03/07
*/

#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;

template <class T>
class MaxHeap{
private:
T *mHeap;        // 数据
int mCapacity;    // 总的容量
int mSize;        // 实际容量

private:
// 最大堆的向下调整算法
void filterdown(int start, int end);
// 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
void filterup(int start);
public:
MaxHeap();
MaxHeap(int capacity);
~MaxHeap();

// 返回data在二叉堆中的索引
int getIndex(T data);
// 删除最大堆中的data
int remove(T data);
// 将data插入到二叉堆中
int insert(T data);
// 打印二叉堆
void print();
};

/*
* 构造函数
*/
template <class T>
MaxHeap<T>::MaxHeap()
{
new (this)MaxHeap(30);
}

template <class T>
MaxHeap<T>::MaxHeap(int capacity)
{
mSize = 0;
mCapacity = capacity;
mHeap = new T[mCapacity];
}
/*
* 析构函数
*/
template <class T>
MaxHeap<T>::~MaxHeap()
{
mSize = 0;
mCapacity = 0;
delete[] mHeap;
}

/*
* 返回data在二叉堆中的索引
*
* 返回值：
*     存在 -- 返回data在数组中的索引
*     不存在 -- -1
*/
template <class T>
int MaxHeap<T>::getIndex(T data)
{
for(int i=0; i<mSize; i++)
if (data==mHeap[i])
return i;

return -1;
}

/*
* 最大堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end)
{
int c = start;          // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小

while(l <= end)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])
l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
if(tmp >= mHeap[l])
break;        //调整结束
else
{
mHeap[c] = mHeap[l];
c = l;
l = 2*l + 1;
}
}
mHeap[c] = tmp;
}

/*
* 删除最大堆中的data
*
* 返回值：
*      0，成功
*     -1，失败
*/
template <class T>
int MaxHeap<T>::remove(T data)
{
int index;
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(mSize == 0)
return -1;

// 获取data在数组中的索引
index = getIndex(data);
if (index==-1)
return -1;

mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补
filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆

return 0;
}

/*
* 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterup(int start)
{
int c = start;            // 当前节点(current)的位置
int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置
T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小

while(c > 0)
{
if(mHeap[p] >= tmp)
break;
else
{
mHeap[c] = mHeap[p];
c = p;
p = (p-1)/2;
}
}
mHeap[c] = tmp;
}

/*
* 将data插入到二叉堆中
*
* 返回值：
*     0，表示成功
*    -1，表示失败
*/
template <class T>
int MaxHeap<T>::insert(T data)
{
// 如果"堆"已满，则返回
if(mSize == mCapacity)
return -1;

mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾
filterup(mSize);    // 向上调整堆
mSize++;                    // 堆的实际容量+1

return 0;
}

/*
* 打印二叉堆
*
* 返回值：
*     0，表示成功
*    -1，表示失败
*/
template <class T>
void MaxHeap<T>::print()
{
for (int i=0; i<mSize; i++)
cout << mHeap[i] << " ";
}

int main()
{
int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};
int i, len=(sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) ;
MaxHeap<int>* tree=new MaxHeap<int>();

cout << "== 依次添加: ";
for(i=0; i<len; i++)
{
cout << a[i] <<" ";
tree->insert(a[i]);
}

cout << "\n== 最 大 堆: ";
tree->print();

i=85;
tree->insert(i);
cout << "\n== 添加元素: " << i;
cout << "\n== 最 大 堆: ";
tree->print();

i=90;
tree->remove(i);
cout << "\n== 删除元素: " << i;
cout << "\n== 最 大 堆: ";
tree->print();
cout << endl;
system("pause");
return 0;
}

效果如下