JZOJ.3431【GDOI2014模拟】网格 解题报告

网格

题目描述

某城市的街道呈网格状，左下角坐标为A(0,0)，右上角坐标为B(n,m)，其中n>=m。现在从A(0,0)点出发，只能沿着街道向正右方或者正上方行走，且不能经过图示中直线左上方的点，即任何途径的点(x,y)都要满足x>=y，请问在这些前提下，到达B(n,m)有多少种走法。

样例输入

6 3

样例输出

132

数据范围

100%的数据中，1 <= m <= n <= 5000

题解

关于这种不能穿过某条直线的网格行走问题，先讲一下怎么做。

我们知道，答案就等于走到点(n,m)的所有路径数量减去穿过这条直线的路径数量。

我们还知道由点(0,0)走到点(n,m)的路径数为Cn(m)n+m。

所以我们现在只需求得穿过这条直线的路径数量就可以知道答案了。

对于一个如下的网格，有这样的一条违法路径穿过了y=x这条直线。



易得，不能穿过y=x这条直线就等于不能碰到y=x+1，所以我们找到y=x+1这条直线（图中为棕色直线），并将原路径沿这条直线对称过去（除了最下面的一段，图中为橙色），可以得到下图



像这样，路径中点A(n,m)会对称到点B(m-1,n+1)，并且从原点走到对称点B(m-1,n+1)的一条路径都可以对称回来，并对应着一条从原点走到终点A(n,m)且穿过y=x直线的路径。

所以穿过直线y=x的路径数就对于从原点走到对称点的路径数。

走到对称点B(m-1,n+1)的路径数SB=Cm−1n+1+m−1=Cm−1n+m

走到原终点A(n,m)的路径数SA=Cmn+m

则

Ans=SA-SB

=Cmn+m-Cm−1n+m

=(n+m)!m!∗n! − (n+m)!(m−1)!∗(n+1)!

=(n+m)!∗(n+1)m!∗(n+1)! − (n+m)!∗mm!∗(n+1)!

=(n+m)!∗(n+1−m)m!∗(n+1)!

再约一下分，得

Ans=(n+2)∗(n+3)∗(n+4)∗......∗(n+m)∗(n+1−m)m!

分数线上面的部分我们可以用高精度乘法将积算出来。

那分母怎么处理呢？

我们看到数据范围，惊奇的发现m<=5000，于是我们可以打一个单精度除法除m次。

因为直接打会超时，所以打高精度时要压位。

Code(Pascal)

const
mo=100000000000000;
var
lj,dt:array[0..30000] of int64;
n,m,j,i,l:longint;
k,o:int64;
procedure cs(o:int64);
var
i,j,l:longint;
hhh:int64;
begin
hhh:=0;
for i:=1 to lj[0] do
begin
dt[i]:=lj[i]*o+hhh;
hhh:=dt[i] div mo;
dt[i]:=dt[i] mod mo;
end;
dt[0]:=lj[0];
while hhh>0 do
begin
inc(dt[0]);
dt[dt[0]]:=hhh mod mo;
hhh:=hhh div mo;
end;
for i:=0 to dt[0] do
lj[i]:=dt[i];
end;
procedure cd(o:int64);
var
i,j,l:longint;
hhh:int64;
begin
for i:=lj[0] downto 1 do
begin
dt[i]:=(lj[i]+hhh) div o;
hhh:=(lj[i]-dt[i]*o+hhh)*mo;
end;
dt[0]:=lj[0];
while (dt[dt[0]]=0) and (dt[0]>0) do
dec(dt[0]);
for i:=lj[0] downto dt[0] do
lj[i]:=0;
for i:=0 to dt[0] do
lj[i]:=dt[i];
end;
begin
readln(n,m);
lj[0]:=1;
lj[1]:=1;
for i:=n+2 to n+m do
cs(i);
cs(n+1-m);
for i:=1 to m do
cd(i);
write(lj[lj[0]]);
for i:=lj[0]-1 downto 1 do
begin
k:=lj[i];
o:=0;
while k>0 do
begin
inc(o);
k:=k div 10;
end;
for l:=1 to 14-o do
write(0);
write(lj[i]);
end;
end.