餐巾计划问题（最小费用流）

Description

    一个餐厅在相继的N 天里，每天需用的餐巾数不尽相同。假设第i天需要ri块餐巾(i=1，2，…，N)。餐厅可以购买新的餐巾，每块餐巾的费用为p分；或者把旧餐巾送到快洗部，洗一块需m天，其费用为f 分；或者送到慢洗部，洗一块需n 天(n > m)，其费用为s < f 分。每天结束时，餐厅必须决定将多少块脏的餐巾送到快洗部，多少块餐巾送到慢洗部，以及多少块保存起来延期送洗。但是每天洗好的餐巾和购买的新餐巾数之和，要满足当天的需求量。

试设计一个算法为餐厅合理地安排好N 天中餐巾使用计划，使总的花费最小。

    编程找出一个最佳餐巾使用计划.

Input

多组数据输入.

每组输入第1 行有6 个正整数N,p,m,f,n,s。N 是要安排餐巾使用计划的天数；p 是每块新餐巾的费用；m 是快洗部洗一块餐巾需用天数；f 是快洗部洗一块餐巾需要的费用；n是慢洗部洗一块餐巾需用天数；s是慢洗部洗一块餐巾需要的费用。接下来的N 行是餐厅在相继的N 天里，每天需用的餐巾数。

Output

每组输出餐厅在相继的N 天里使用餐巾的最小总花费

Sample Input

3 10 2 3 3 2

5

6

7

Sample Output

145

题目出自nefu488
思路：

        这个问题的主要约束条件是每天的餐巾够用，而餐巾的来源可能是最新购买，也可能是前几天送洗，今天刚刚洗好的餐巾。每天用完的餐巾可以选择送到快洗部或慢洗部，或者留到下一天再处理。

经过分析可以把每天要用的和用完的分离开处理，建模后就是二分图。二分图X集合中顶点Xi表示第i天用完的餐巾，其数量为ri，所以从S向Xi连接容量为ri的边作为限制。Y集合中每个点Yi则是第i天需要的餐巾，数量为ri，与T连接的边容量作为限制。每天用完的餐巾可以选择留到下一天（Xi->Xi+1），不需要花费，送到快洗部(Xi->Yi+m)，费用为f，送到慢洗部(Xi->Yi+n)，费用为s。每天需要的餐巾除了刚刚洗好的餐巾，还可能是新购买的(S->Yi)，费用为p。

在网络上求出的最小费用最大流，满足了问题的约束条件（因为在这个图上最大流一定可以使与T连接的边全部满流，其他边只要有可行流就满足条件），而且还可以保证总费用最小，就是我们的优化目标。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const   int oo=1e9;
const   int mm=11111111;
const   int mn=888888;
int node,src,dest,edge;
int ver[mm],flow[mm],cost[mm],nex[mm];
int head[mn],dis[mn],p[mn],q[mn],vis[mn];
/**这些变量基本与最大流相同，增加了cost 表示边的费用，p记录可行流上节点对应的反向边*/
void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
node=_node,src=_src,dest=_dest;
for(int i=0; i<node; i++)head[i]=-1,vis[i]=0;
edge=0;
}
void addedge(int u,int v,int f,int c)
{
ver[edge]=v,flow[edge]=f,cost[edge]=c,nex[edge]=head[u],head[u]=edge++;
ver[edge]=u,flow[edge]=0,cost[edge]=-c,nex[edge]=head[v],head[v]=edge++;
}
bool spfa()/**spfa 求最短路，并用 p 记录最短路上的边*/
{
int i,u,v,l,r=0,tmp;
for(i=0; i<node; ++i)dis[i]=oo;
dis[q[r++]=src]=0;
p[src]=p[dest]=-1;
for(l=0; l!=r; (++l>=mn)?l=0:l)
for(i=head[u=q[l]],vis[u]=0; i>=0; i=nex[i])
if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]>(tmp=dis[u]+cost[i]))
{
dis[v]=tmp;
p[v]=i^1;
if(vis[v]) continue;
vis[q[r++]=v]=1;
if(r>=mn)r=0;
}
return p[dest]>-1;
}
int SpfaFlow()/**源点到汇点的一条最短路即可行流，不断的找这样的可行流*/
{
int i,ret=0,delta;
while(spfa())
{
for(i=p[dest],delta=oo; i>=0; i=p[ver[i]])
if(flow[i^1]<delta)delta=flow[i^1];
for(i=p[dest]; i>=0; i=p[ver[i]])
flow[i]+=delta,flow[i^1]-=delta;
ret+=delta*dis[dest];
}
return ret;
}

int main()
{
int N,p,m,f,n,s;
while(~scanf("%d%d%d%d%d%d",&N,&p,&m,&f,&n,&s))
{
prepare(N*2+2,0,N*2+1);
for(int i=1; i<=N; i++)
{
int x;
scanf("%d",&x);
addedge(0,i,x,0);
addedge(0,i+N,oo,p);
addedge(i+N,N*2+1,x,0);
if(i!=N)
addedge(i,i+1,oo,0);
if(i+m<=N)
addedge(i,i+m+N,oo,f);
if(i+n<=N)
addedge(i,i+n+N,oo,s);
}
printf("%d\n",SpfaFlow());
}
return 0;
}