陶哲轩实分析 4.4 节习题试解

陶哲轩实分析 4.4 节习题试解

4.4.1 设 是比例数，证明存在唯一的整数 满足

对 分情况讨论。

（1） ，这时 ， 都是自然数，并且 。

那么由欧几里德算法有：

其中 为自然数，并且满足

那么

可以看出 满足：

下面再证明 的唯一性。

假设存在另一个 也满足

那么有：

设 ，那么有

也就是 其中 为自然数，并且满足

而欧几里德算法保证了 只有唯一的一种拆分方式。也就是说 与原假设矛盾。

所以 时，存在唯一的整数 满足 。

（2）当 时， 可表示为 ，其中 都是自然数，并且 。

同样由欧几里德算法有：

其中 为自然数，并且满足

那么

再对 分情况讨论。

（2.1） 这时 ，设 ， 则 满足：

证明这种情况下 是唯一的。假设还有另一个整数 ，也满足 。

那么有：

满足这个条件的 只有一个 。 这与原假设矛盾。所以此情况下 是唯一的。

（2.2）

那么有：

设 ，那么有

上式简化为：

所以 满足：

证明这种情况下 是唯一的。假设还有另一个整数 ，也满足 。

设

那么有：

还有：

所以 满足 并且有：

不妨假设 ，那么

所以 。这与原假设矛盾。 所以 是唯一的。

综上，就证明了对任意比例数 ，存在唯一的整数 满足

4.4.2 证明不存在无限减小的自然数序列。

反证法：假设存在一个自然数序列 ，这个序列满足对一切的自然数 都有 和 。

那么可以用数学归纳法证明对任意的自然数 和 任意的自然数 ，都有 。

证明如下：

时，显然有

假设对 成立，也就是

下面用反证法证明 对于 也有

假设对于 ， 如果存在某一个 满足 同时根据上面假设又有 那么必然 。那么 ，所以 ，与 的假设矛盾。

所以

所以，任意的自然数 和 任意的自然数 ，都有 。

而我们知道不存在大于任意自然数的自然数。所以这样的自然数序列 不存在。

4.4.3 证明不存在比例数 满足

首先，，因为 。

其次，如果存在这样的比例数，那么这样的比例数中必然有正比例数。因为如果这样的比例数是负的。那么 必然是正的，并且满足 。

设 其中 和 是两个自然数，满足 ，并且：

那么 一定是偶数，因此 ，所以有：

所以 。 另外， 也是偶数，必然可以写为 。

利用数学归纳法可以证明这个过程可以无限进行下去：

假设对于 成立：

那么 为偶数。所以存在一个自然数 满足 。

所以：

所以 也是偶数，也就是说存在一个自然数 满足 。

所以：

所以对于任意的自然数 都有：

也就是说 是无限递减的自然数序列。而无限减小原理表明不存在这样的自然数列。

所以不存在比例数 满足 。