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codeforces 258C Little Elephant and LCM 组合数学枚举

2016-06-03 19:39 357 查看

题意：

input :

n

a1,a2,...,an

1 <= n <= 10^5

1 <= ai <= 10^5

求b数组的方案数，b数组满足：

1. 1 <= bi <= ai

2. lcm(bi) = max(bi)

solution:

2说明了b数组的每一个元素都是max(bi)的约数

则：

1.sort a数组，ma = a

2.预处理2个数组，vector<int> dive[MAXN],int pos[MAXN]

dive[i]保存i的约数，并且按照小到大排序

sort(dive[i].begin(),dive[i].end())

pos[i]表示a数组中 >= i 的数的最小位置

3.枚举max(bi):1~ma,则：

ans = sigma( dive(i).size()^(n - pos[i]+1) - (dive[i].size()-1)^(n-pos[i]+1) *

　　　　sigma((j+1)^(pos[dive[i][j+1]])-pos[dive[i][j]]),0<=j<dive[i].size() ),1<=i<=ma

推这条公式其实就是枚举max为i，然后把b数组分成若干段，每一个段的可以选择的数就是dive[i]的部分约数，先把dive[i]排序后，可以知道每一个段可以选择的数的个数，就得到公式了。

//File Name: cf258C.cpp
//Author: long
//Mail: 736726758@qq.com
//Created Time: 2016年02月23日 星期二 18时30分26秒

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>

#define LL long long
#define pb push_back

using namespace std;

const int MAXN = (int)1e5+5;
const int MOD = (int)1e9+7;

int a[MAXN];
vector<int> dive[MAXN];
int pos[MAXN];
int ma;

LL qp(LL x,LL y)
{
LL res = 1LL;
while(y){
if(y & 1)
res = res * x % MOD;
x = x * x % MOD;
y >>= 1;
}
return res;
}

void get_dive(int x)
{
for(int i=1;i<=x;i++){
dive[i].clear();
int e = (int)sqrt(i + 0.0);
for(int j=1;j<=e;j++){
if(i % j == 0){
dive[i].pb(j);
if((i / j) != j)
dive[i].pb(i / j);
}
}
sort(dive[i].begin(),dive[i].end());
}
}

int bs(int l,int r,int x)
{
int mid;
while(r - l > 1){
mid = (l + r) >> 1;
if(a[mid] < x)
l = mid;
else
r = mid;
}
if(a[l] >= x)
return l;
return r;
}

void solve(int n)
{
sort(a+1,a+n+1);
ma = a
;
get_dive(ma);
pos[1] = 1;
for(int i=2;i<=ma;i++){
pos[i] = bs(pos[i-1],n,i);
}
LL ans = 0LL;
LL tmp;
for(int i=1;i<=ma;i++){
int x = n - pos[i] + 1;
int y = (int)dive[i].size();
tmp = (qp(y,x) - qp(y-1,x) + MOD) % MOD;
for(int j=0;j<dive[i].size() - 1;j++){
tmp = tmp * qp(j+1,pos[dive[i][j+1]] - pos[dive[i][j]]) % MOD;
}
ans = (ans + tmp) % MOD;
}
printf("%d\n",(int)ans);
return ;
}

int main()
{
int n;
while(~scanf("%d",&n)){
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
solve(n);
}
return 0;
}

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