【图像处理】一种求三维空间中两单位向量之间旋转矩阵的方法

矩阵相乘有多种含义，比如：从一种坐标系切换到另外的坐标系；空间中的运动。其中旋转矩阵相乘会改变物体的旋转角度，但不会改变物体形状和位置。单位向量可以看做一维物体，单位向量实际只有一个坐标轴，垂直于该坐标轴的其他两个坐标轴，无论怎么修改，对该单位向量并没有影响。现在我们已知两个单位向量，要求解一个向量va到另外一个向量vb的旋转矩阵，本质上可以理解为从前者对应的坐标系切换到后者对应的坐标系，与向量坐标轴相互垂直的两个坐标轴，只要满足垂直的要求即可，因为向量在垂直于向量方向上的旋转没有意义。

为了方便求解，我先考虑从[1,0,0]向量转换到va向量的旋转矩阵。显然[1,0,0]向量对应的是x轴，旋转到va向量等价于将x轴变换到va向量的坐标轴，那么新坐标系的x轴就是va，令新坐标系的x轴为va1=va。接下来我们要求得垂直于va的单位向量，那么应用叉乘计算可以得到va2=va1×[1,0,0])，va3=va1×va2→va2⊥va1,va3⊥va1,va2⊥va3将va2和va3都归一化，就得到了一个新坐标系，也可以说是旋转矩阵RotateMatrixA=[va1Tva2Tva3T]→RotateMatrixA⋅⎡⎣⎢100⎤⎦⎥=vaT用同样的方法获得[1,0,0]到vb的旋转矩阵RotateMatrixB，那么从va到vb的旋转矩阵为：RotateMatrixB⋅RotateMatrixA−1⋅vaT=vbT→RotateMatrix=RotateMatrixB⋅RotateMatrixA−1

其中需要2+2=4次叉乘，2+2=4次向量归一化，1次矩阵求逆和1次矩阵乘法才能获得旋转矩阵。这是一个笨办法，但是对数学苦手要友好的多。