最小生成树_Prim

如何从一个带权图中抽出一棵生成树，使得边权值和最小，这棵生成树就叫做最小生成树。常见的求解最小生成树的算法有 Prim 算法和 Kruskal 算法。

我们先来学习 Prim 算法。首先我们定义带权图 G的顶点集合为 V，接着我们再定义最小生成树的顶点集合为 U，初始集合 U 为空。接着执行以下操作：

首先我们任选一个顶点 x，加入集合 U，并记录每个顶点到当前最小生成树的最短距离。

选择一个距离当前最小生成树最近的、且不属于集合 U 的顶点 v（如果有多个顶点 v，任选其一即可），将顶点 v 加入集合 U，并更新所有与顶点 v 相连的顶点到当前最小生成树的最短距离。

重复第二步操作，直至集合 U 等于集合 V。

最小生成树构造完毕，集合 U 记录了最小生成树的所有边。

分析算法过程，我们可以发现，Prim 算法的思想类似贪心策略，每次都会选择一条与当前最小生成树相连且边权值最小的点。Prim 算法的时间复杂度为 O(V^2)

​​ )，V 为图 GG 顶点总个数，如果加上堆优化的话，可以把时间复杂度降到 O(VlogV+E)，其中 E 为图 G 的总边数。Prim 算法一般应用于边较为稠密的图，也就是顶点较少、而边较多的图。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge {
int vertex, weight;
};

class Graph {
private:
int n;
bool * visited;
vector<Edge> * edges;
public:
int * dist;
Graph (int input_n) {
n = input_n;
edges = new vector<Edge>
;
dist = new int
;
visited = new bool
;
memset(visited, false, n * sizeof(bool));
memset(dist, 0x3f, n * sizeof(int));
}
~Graph() {
delete[] dist;
delete[] visited;
delete[] edges;
}
void insert(int x, int y, int weight) {
edges[x].push_back(Edge{y, weight});
edges[y].push_back(Edge{x, weight});
}
int prim(int v) {
int total_weight=0;
//dis用于标记每个顶点 距离生成树上所有顶点的最短距离
dist[v]=0;
for(int i=0;i<n;i++){
int min_dist=INF,min_vertex;
for(int j=0;j<n;j++){
if(!visited[j]&&dist[j]<min_dist){
min_dist=dist[j];
min_vertex=j;
}
}
total_weight+=min_dist;
visited[min_vertex]=1;
for(Edge &j:edges[min_vertex]){
if(!visited[j.vertex]&&j.weight<dist[j.vertex]){
dist[j.vertex]=j.weight;
}
}
}
return total_weight;
}
};

int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
Graph g(n);
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g.insert(a, b, c);
}
cout << g.prim(0) << endl;
return 0;
}