POJ 3420 Quad Tiling (瓷砖问题+矩阵快速幂)

题意

用1*2的瓷砖拼成4*n的矩形，求方案数。（n <= 1e9）

思路

瓷砖问题还是比较套路的，在数据比较小的时候可以直接把每一行状态压缩一下，然后dfs求出方案。

在这样数据比较大的时候我们使用pre和now构造出矩阵，然后用快速幂优化递推n次就可以了。

实际上还有直接手动递推公式的方法，不过需要推导推导的方法可以看这里

代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
#define lson l, mid, rt << 1
#define rson mid + 1, r, rt << 1|1
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 10000 + 7;
const double eps = 1e-8;
const int MOD = 1000000009;
const double PI = acos(-1.0);
int n, mod;
const int d = 16;

struct Matrix
{
LL a[100][100];
Matrix()
{
memset(a, 0, sizeof(a));
}
void init()
{
for (int i = 0; i < d; i++) a[i][i] = 1;
}
Matrix operator * (const Matrix &B)const
{
Matrix C;
for(int i = 0; i < d; i++)
for(int j = 0; j < d; j++)
for(int k = 0; k < d; k++)
C.a[i][j] = (C.a[i][j] + a[i][k] * B.a[k][j]) % mod;
return C;
}
Matrix operator ^ (const int &t)const
{
Matrix res, A = (*this);
res.init();
int p = t;
while (p)
{
if (p & 1) res = res * A;
A = A * A;
p >>= 1;
}
return res;
}
void print()
{
for (int i = 0; i < d; i++)
{
for (int j = 0; j < d; j++)
printf("%-3d", a[i][j]);
printf("\n");
}
}
}mat;

void dfs(int step, int now, int pre)
{
if (step > 4) return ;
if (step == 4)
{
mat.a[pre][now]++;
return ;
}
dfs(step + 2, (now << 2) | 3, (pre << 2) | 3);
dfs(step + 1, (now << 1) | 1, pre << 1);
dfs(step + 1, now << 1, (pre << 1) | 1);
}

int main()
{
dfs(0, 0, 0);
while (scanf("%d%d", &n, &mod) && n)
{
Matrix res = mat ^ n;
printf("%lld\n", res.a[15][15]);
}
return 0;
}