费马小定理降幂--nkoj3687 整数拆分

P3687  整数拆分

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问题描述

给你一个正整数N，F(x)表示把N拆分成x个正整数之和的方案数。

例如，当n=5时：

F(1)=1,方案为：{5}

F(2)=4,方案为：{1+4}  {4+1}  {2+3}  {3+2}

F(3)=6,方案为：{1+1+3}  {1+3+1}  {3+1+1}  {1+2+2}  {2+1+2}  {2+2+1} 

F(4)=4,方案为：{1+1+1+2}  {1+1+2+1}  {1+2+1+1}  {2+1+1+1}  

F(5)=1,方案为：{1+1+1+1+1} 

请你计算出F(1)+F(2)+......+F(N)

结果可能很大，mod 1,000,000,007 再输出!

输入格式

第一行，一个整数N

输出格式

一行，一个整数，表示所求的结果

样例输入

5

样例输出

16

提示

对于50%的数据1<=N<=100
对于100%的数据1<=N<=10^100000

/*
考点：费马小定理降幂
经观察很容易推出答案是2^(n-1) mod 1000000007，设p=1000000007
因为p是质数，根据费马小定理：a^(p-1) ≡1(mod p) 我们有：
2^(n-1)%p=2^((n-1)%(p-1)) %p
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
char str[100005];

long long Montgomery(long long a,long long b,long long mod)//快速幂
{
long long ans=1;
while(b>0)
{
if(b&1)ans=(ans*a)%mod;
a=(a*a)%mod;
b=b>>1;
}
return ans;
}

int main(){
long long i,ans,num=0;
scanf("%s",str);
int len=strlen(str);
for(i=0;i<len;i++){
num=( num*10+(str[i]-'0') )% (mod-1);//将字符数组转换成整数
}
//num=n%(mod-1)
if(num==0) ans=Montgomery(2,mod-2,mod);//此时n=mod-1,求2^(mod-2)
else ans=Montgomery(2,num-1,mod);
printf("%I64d\n",ans);
return 0;
}

如果要输入一个很大很大的数n，最后要输出n模一个数的结果怎么办呢？

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
const LL p =1000000007;
void _read(LL &x){
char ch=getchar(); bool mark=false;
for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')mark=true;
for(x=0;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x*10+ch-'0')%(p-1); //边读边取模
if(mark)x=-x;
}

int main(){
LL n;
_read(n);
cout<<n%p;
}