二叉搜索树

二叉搜索树是一种有序二叉树，通过对其中序遍历，可以得到一组非递减的数据。如下图所示的一颗二叉搜索树，中序遍历后得到的数组是 8、10、11、12、15、18。二叉搜索树的基本性质：左子树<=根<=右子树，查询的时间复杂度为O(lg(n))。



在实际编写代码时，定义一个结点的数据结构和一个二叉搜索树的数据结构，以及一些基本方法。

typedef struct Node
{
int value;
int size;
struct Node *parent;
struct Node *left;
struct Node *right;
} Node;

typedef struct Tree
{
Node *root;
} Tree;

Node *createNode(int value)
{
Node *node = (Node *)malloc(sizeof(Node));
node->left = NULL;
node->right = NULL;
node->parent = NULL;
node->value = value;
node->size = 1;
return node;
}

Tree* initTree()
{
Tree *tree = (Tree *)malloc(sizeof(Tree));
tree->root = NULL;
return tree;
}

createNode是创建一个新结点的方法。initTree是初始化一颗二叉搜索树的方法。Node是一个结点的结构，其中value为结点的值，size为该结点下的子树的结点总数（包括自己）。Tree是一颗二叉搜索树的结构，其拥有一个树根root成员。

1. 二叉搜索树的插入

在二叉搜索树中插入一个指定值的结点，只需要从树根向下找到合适的位置插入为叶子结点即可。该过程会形成一条从根到被插入结点的唯一路径。在向下遍历时，如果要插入的值比结点的值小，则向结点的左子树遍历，否则向右子树遍历，如此循环即可。插入的代码如下所示。

void insertBinarySearchTree(Tree *tree, int value)
{
if (tree->root == NULL)
{
tree->root = createNode(value);
return;
}

Node *node = createNode(value);
Node *n = tree->root;
while (1)
{
n->size++;
if (value < n->value)
{
if (n->left == NULL)
{
n->left = node;
node->parent = n;
break;
}
n = n->left;
}
else
{
if (n->right == NULL)
{
n->right = node;
node->parent = n;
break;
}
n = n->right;
}
}
}

2. 二叉搜索树结点的删除

从一颗二叉搜索树中删除结点x有3种情况：

(1) x是叶子结点，则直接删除；

(2) x有一个孩子结点（左孩子或者右孩子），则直接将x的父结点指向孩子，如果x是根结点，则要更新树根；

(3) x有两个孩子结点，则要找到x在右子树中的后驱结点y，然后将y的父结点的左子树指向y的右子树，再用y替换掉x。

第三种情况可能有点难理解。先解释一下什么叫后驱。一个结点s的后驱结点是指：在中序遍历时，排在x的值的后面的结点，称之为x的后驱结点。也就是说，后驱结点是大于x的结点中的最小结点，也就是x的右子树中的最小结点，即x的右子树中最左侧的不拥有左子树结点。因此，我们需要有这样一个方法来辅助寻找结点x的后驱结点。

Node* minimum(Tree *tree)
{
Node *n = tree->root;
if (n == NULL)	return NULL;
while (n->left != NULL)	n = n->left;
return n;
}

minimum方法可以找到一棵树中的最小的结点，方法很简单，就是一直向左遍历知道没有左子树为止。使用minimum方法可以找到一个结点x的后驱结点：

Tree t;
t.root = x->right;
Node *back = minimum(&t);

结点back就是x的后驱结点。

再来思考一下删除一个有两个孩子的结点x的情况，考虑中序遍历的数组，删除了x的值，他的位置就会被x的后驱顶上，于是就有情况(3)中所说的用后驱替换结点x的操作，这样就相当于不删除结点x，而是删除x的后驱结点，而x的后驱结点又是一个只有右孩子的结点，于是就只需要对它做情况(2)的操作即可。

情况(3)的操作具体如下图所示。



上图中删除结点10，符合情况(3)，于是先找到结点10的后驱结点，即结点10的右子树的最小结点，即结点11，然后将结点11的父结点13的左子树指向结点11的右子树12，最后用结点11替换掉结点10，便得到了右图。

在实际编程中，我们使用一个transplant方法来通过移植树达到删除/替换结点的目的。

/**
* 将*tree1替换成tree2，若*tree1为根，则直接改变tree->root指向
*/
void transplant(Tree *tree, Node *tree1, Node *tree2)
{
if (tree1->parent == NULL)
{
tree->root = tree2;
tree2->parent = NULL;
return;
}

if (tree2 != NULL)					tree2->parent = tree1->parent;
if (tree1 == tree1->parent->left)	tree1->parent->left = tree2;
else								tree1->parent->right = tree2;
}

transplant方法将一颗二叉搜索树tree中的tree1子树替换成tree2。

删除结点的代码如下所示。

void deleteFromBinarySearchTree(Tree *tree, Node *node)
{
if (node == NULL)	return;

Node *n = node;
while (n->parent != NULL)
{
n = n->parent;
n->size--;
}

if (node->left == NULL)
{
transplant(tree, node, node->right);
}
else if (node->right == NULL)
{
transplant(tree, node, node->left);
}
else
{
Tree t;
t.root = node->right;
Node *min = minimum(&t);
Node *end = min->right;
min->size = node->size - 1;
if (node == tree->root)	tree->root = min;

if (node->right != min)
{
transplant(tree, min, min->right);
min->right = node->right;
node->right->parent = min;
}
min->left = node->left;
node->left->parent = min;
transplant(tree, node, min);

n = min->right;
while (n != end)
{
n->size--;
n = n->left;
}
}

free(node);
}

删除结点首先从被删除结点开始，向上调整结点的size，然后再一次判断3中情况并做响应操作。针对情况(3)，程序还需要对 被删除结点x 到 实际被删除的x的后驱结点min的父结点 的路径上的结点调整size。

3. 中序遍历

可以使用递归来实现中序遍历。

void inOrder(Tree *tree, int **order, int *num)
{
*num = tree->root->size;
*order = (int *)malloc(sizeof(int) * *num);
int i = 0;
inOrder(tree->root, order, &i);
}

void inOrder(Node *node, int **order, int *i)
{
if (node == NULL)
{
return;
}

inOrder(node->left, order, i);
(*order)[*i] = node->value;
(*i)++;
inOrder(node->right, order, i);
}

4. 总结

二叉搜索树的插入操作的平均时间复杂度为O(lg(n))。

删除操作如果忽略对size的调整，其无非就是一个修改指针指向的操作，因此其可以在常数时间内完成。

二叉搜索树有一个很大的缺点，如果将一组非递减的数据依次执行插入操作来构造二叉搜索树，那么最后构造出来的只是一个单链表，其查询操作的时间复杂度为O(n)。虽然我们可以通过采取随机构建的方法（即从数组中随机抽取数据执行插入操作）来尽量避免这一种情况，但是实际情况下构造出来的二叉搜索树都不一定很优。于是我们就需要对此作出改进。改进的结果有很多，如AVL树、红黑树等。

AVL树可以参考AVL树的插入与删除

红黑树可以参考红黑树的插入与删除

代码可以参考我github上的数据结构与算法

大家感兴趣的可以fork一下，也可以顺便关注一下O(∩_∩)O~