Python学习路程day17

常用算法与设计模式

选择排序

时间复杂度

二、计算方法

1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。

一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

2.一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））。随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。

在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））。

3.常见的时间复杂度

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

常数阶O(1),  对数阶O(log2n),  线性阶O(n),  线性对数阶O(nlog2n),  平方阶O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k), 指数阶O(2^n) 。

其中，

1.O(n)，O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k) 为多项式阶时间复杂度，分别称为一阶时间复杂度，二阶时间复杂度。。。。

2.O(2^n)，指数阶时间复杂度，该种不实用

3.对数阶O(log2n),   线性对数阶O(nlog2n)，除了常数阶以外，该种效率最高

例：算法：
for（i=1;i<=n;++i）
{
for(j=1;j<=n;++j)
{
c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^2

for(k=1;k<=n;++k)
c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^3
}
}
则有 T（n）= n^2+n^3，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n^3为T（n）的同数量级
则有f（n）= n^3，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c
则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n^3)

四、

定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。 当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。 我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。 此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。 “大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。 这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。 O(1) Temp=i;i=j;j=temp; 以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。 O(n^2) 2.1. 交换i和j的内容 sum=0； （一次） for(i=1;i<=n;i++) （n次 ） for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ） sum++； （n^2次 ） 解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2) 2.2. for (i=1;i<n;i++) { y=y+1; ① for (j=0;j<=(2*n);j++) x++; ② } 解： 语句1的频度是n-1 语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1 f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2 该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2). O(n) 2.3. a=0; b=1; ① for (i=1;i<=n;i++) ② { s=a+b;　　　　③ b=a;　　　　　④ a=s;　　　　　⑤ } 解：语句1的频度：2, 语句2的频度： n, 语句3的频度： n-1, 语句4的频度：n-1, 语句5的频度：n-1, T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n). O(log2n ) 2.4. i=1; ① while (i<=n) i=i*2; ② 解： 语句1的频度是1, 设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n 取最大值f(n)= log2n, T(n)=O(log2n ) O(n^3) 2.5. for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<i;j++) { for(k=0;k<j;k++) x=x+2; } } 解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3). 我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。 下面是一些常用的记法： 访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。 指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。

常用排序

名称	复杂度	说明	备注
冒泡排序 Bubble Sort	O(N*N)	将待排序的元素看作是竖着排列的“气泡”，较小的元素比较轻，从而要往上浮
插入排序 Insertion sort	O(N*N)	逐一取出元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描，放到适当的位置	起初，已经排序的元素序列为空
选择排序	O(N*N)	首先在未排序序列中找到最小元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小元素，然后放到排序序列末尾。以此递归。
快速排序 Quick Sort	O(n *log2(n))	先选择中间值，然后把比它小的放在左边，大的放在右边（具体的实现是从两边找，找到一对后交换）。然后对两边分别使用这个过程（递归）。
堆排序HeapSort	O(n *log2(n))	利用堆（heaps）这种数据结构来构造的一种排序算法。堆是一个近似完全二叉树结构，并同时满足堆属性：即子节点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。	近似完全二叉树
希尔排序 SHELL	O(n1+￡) 0<￡<1	选择一个步长(Step) ,然后按间隔为步长的单元进行排序.递归,步长逐渐变小,直至为1.
箱排序 Bin Sort	O(n)	设置若干个箱子，把关键字等于 k 的记录全都装入到第k 个箱子里 ( 分配 ) ，然后按序号依次将各非空的箱子首尾连接起来 ( 收集 ) 。	分配排序的一种：通过" 分配 " 和 " 收集 " 过程来实现排序。

选择排序

The algorithm works by selecting the smallest unsorted item and then swapping it with the item in the next position to be filled.

The selection sort works as follows: you look through the entire array for the smallest element, once you find it you swap it (the smallest element) with the first element of the array. Then you look for the smallest element in the remaining array (an array without the first element) and swap it with the second element. Then you look for the smallest element in the remaining array (an array without first and second elements) and swap it with the third element, and so on. Here is an example,

<code class="python plain">source </code><code class="python keyword">=</code> <code class="python plain">[</code><code class="python value">29</code><code class="python plain">,</code><code class="python value">64</code><code class="python plain">,</code><code class="python value">73</code><code class="python plain">,</code><code class="python value">34</code><code class="python plain">,</code><code class="python value">20</code><code class="python plain">]</code>

count = 0
for i in range(len(source)):
for j in range(i,len(source)):
source_ele = source[i] #要被拿来对比且替换的原始值

if source[j] < source_ele : #只要这个列表后面的值比最前面的值大,那就把它俩个做个对调
source[i] = source[j]
source[j] = source_ele
count +=1
print(source)
print("运行次数:",count)

Example.


The worst-case runtime complexity is O(n2).　　

插入排序(Insertion Sort)

插入排序(Insertion Sort)的基本思想是：将列表分为2部分，左边为排序好的部分，右边为未排序的部分，循环整个列表，每次将一个待排序的记录，按其关键字大小插入到前面已经排好序的子序列中的适当位置，直到全部记录插入完成为止。

source = [92, 77, 67, 8, 6, 84, 55, 85, 43, 67]

for index in range(1,len(source)):
current_val = source[index] #先记下来每次大循环走到的第几个元素的值
position = index

while position > 0 and source[position-1] > current_val: #当前元素的左边的紧靠的元素比它大,要把左边的元素一个一个的往右移一位,给当前这个值插入到左边挪一个位置出来
source[position] = source[position-1] #把左边的一个元素往右移一位
position -= 1 #只一次左移只能把当前元素一个位置 ,还得继续左移只到此元素放到排序好的列表的适当位置 为止

source[position] = current_val #已经找到了左边排序好的列表里不小于current_val的元素的位置,把current_val放在这里
print(source)

结果：

[77, 92, 67, 8, 6, 84, 55, 85, 43, 67]
[67, 77, 92, 8, 6, 84, 55, 85, 43, 67]
[8, 67, 77, 92, 6, 84, 55, 85, 43, 67]
[6, 8, 67, 77, 92, 84, 55, 85, 43, 67]
[6, 8, 67, 77, 84, 92, 55, 85, 43, 67]
[6, 8, 55, 67, 77, 84, 92, 85, 43, 67]
[6, 8, 55, 67, 77, 84, 85, 92, 43, 67]
[6, 8, 43, 55, 67, 77, 84, 85, 92, 67]
[6, 8, 43, 55, 67, 67, 77, 84, 85, 92]

　　

快速排序（quick sort）

设要排序的数组是A[0]……A[N-1]，首先任意选取一个数据（通常选用数组的第一个数）作为关键数据，然后将所有比它小的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一趟快速排序。值得注意的是，快速排序不是一种稳定的排序算法，也就是说，多个相同的值的相对位置也许会在算法结束时产生变动　　

注：在待排序的文件中，若存在多个关键字相同的记录，经过排序后这些具有相同关键字的记录之间的相对次序保持不变，该排序方法是稳定的；若具有相同关键字的记录之间的相对次序发生改变，则称这种排序方法是不稳定的。
要注意的是，排序算法的稳定性是针对所有输入实例而言的。即在所有可能的输入实例中，只要有一个实例使得算法不满足稳定性要求，则该排序算法就是不稳定的。

排序演示

示例

假设用户输入了如下数组：

下标	0	1	2	3	4	5
数据	6	2	7	3	8	9

创建变量i=0（指向第一个数据）, j=5(指向最后一个数据), k=6(赋值为第一个数据的值)。
我们要把所有比k小的数移动到k的左面，所以我们可以开始寻找比6小的数，从j开始，从右往左找，不断递减变量j的值，我们找到第一个下标3的数据比6小，于是把数据3移到下标0的位置，把下标0的数据6移到下标3，完成第一次比较：

下标	0	1	2	3	4	5
数据	3	2	7	6	8	9

i=0 j=3 k=6
接着，开始第二次比较，这次要变成找比k大的了，而且要从前往后找了。递加变量i，发现下标2的数据是第一个比k大的，于是用下标2的数据7和j指向的下标3的数据的6做交换，数据状态变成下表：

下标	0	1	2	3	4	5
数据	3	2	6	7	8	9

i=2 j=3 k=6
称上面两次比较为一个循环。

接着，再递减变量j，不断重复进行上面的循环比较。
在本例中，我们进行一次循环，就发现i和j“碰头”了：他们都指向了下标2。于是，第一遍比较结束。得到结果如下，凡是k(=6)左边的数都比它小，凡是k右边的数都比它大：

下标	0	1	2	3	4	5
数据	3	2	6	7	8	9

如果i和j没有碰头的话，就递加i找大的，还没有，就再递减j找小的，如此反复，不断循环。注意判断和寻找是同时进行的。

然后，对k两边的数据，再分组分别进行上述的过程，直到不能再分组为止。
注意：第一遍快速排序不会直接得到最终结果，只会把比k大和比k小的数分到k的两边。为了得到最后结果，需要再次对下标2两边的数组分别执行此步骤，然后再分解数组，直到数组不能再分解为止（只有一个数据），才能得到正确结果。

#_*_coding:utf-8_*_
__author__ = 'Alex Li'
import time,random
def sift_down(arr, node, end):
root = node
#print(root,2*root+1,end)
while True:
# 从root开始对最大堆调整

child = 2 * root +1  #left child
if child  > end:
#print('break',)
break
print("v:",root,arr[root],child,arr[child])
print(arr)
# 找出两个child中交大的一个
if child + 1 <= end and arr[child] < arr[child + 1]: #如果左边小于右边
child += 1 #设置右边为大

if arr[root] < arr[child]:
# 最大堆小于较大的child, 交换顺序
tmp = arr[root]
arr[root] = arr[child]
arr[child]= tmp

# 正在调整的节点设置为root
#print("less1:", arr[root],arr[child],root,child)

root = child #
#[3, 4, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 21, 22, 29]
#print("less2:", arr[root],arr[child],root,child)
else:
# 无需调整的时候, 退出
break
#print(arr)
print('-------------')

def heap_sort(arr):
# 从最后一个有子节点的孩子还是调整最大堆
first = len(arr) // 2 -1
for i in range(first, -1, -1):
sift_down(arr, i, len(arr) - 1)
#[29, 22, 16, 9, 15, 21, 3, 13, 8, 7, 4, 11]
print('--------end---',arr)
# 将最大的放到堆的最后一个, 堆-1, 继续调整排序
for end in range(len(arr) -1, 0, -1):
arr[0], arr[end] = arr[end], arr[0]
sift_down(arr, 0, end - 1)
#print(arr)
def main():
# [7, 95, 73, 65, 60, 77, 28, 62, 43]
# [3, 1, 4, 9, 6, 7, 5, 8, 2, 10]
#l = [3, 1, 4, 9, 6, 7, 5, 8, 2, 10]
#l = [16,9,21,13,4,11,3,22,8,7,15,27,0]
array = [16,9,21,13,4,11,3,22,8,7,15,29]
#array = []
#for i in range(2,5000):
#    #print(i)
#    array.append(random.randrange(1,i))

print(array)
start_t = time.time()
heap_sort(array)
end_t = time.time()
print("cost:",end_t -start_t)
print(array)
#print(l)
#heap_sort(l)
#print(l)

if __name__ == "__main__":
main()

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