HDU 4549 (费马小定理+矩阵快速幂+二分快速幂)

M斐波那契数列

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Description

M斐波那契数列F
是一种整数数列，它的定义如下： 

F[0] = a 

F[1] = b 

F
= F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) 

现在给出a, b, n，你能求出F
的值吗？
 

Input

输入包含多组测试数据； 

每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）
 

Output

对每组测试数据请输出一个整数F
，由于F
可能很大，你只需输出F
对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。
 

Sample Input

0 1 06 10 2

 

Sample Output

060

 

Source
2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）
题意如题。
题解：解题过程中会发现a和b的指数是斐波那契数列，b的指数是f
，a的指数是f[n-1]。
　　　构造{Fn+1,Fn,Fn,Fn-1}的矩阵，当n=1的时候是{1,1,1,0}，单位矩阵为{1,0,0,1}。
　　　利用矩阵快速幂可以求出a和b的指数，在这个过程中还要用到费马小定理。
　　　费马小定理:x的y次幂对M取模，如果M为素数且x和M互素，可以将y对(M-1)取模后再将结果对M取模。
　　　即如果p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。
　　　然后求a的an次幂和b的bn次幂的乘积并取余，分别利用二分快速幂即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define mod  1000000006
#define mod2 1000000007
typedef long long ll;
struct matrix
{
ll data[2][2];
};
matrix I= {1,0,0,1};
matrix multi(matrix a,matrix b)
{
matrix c;
memset(c.data,0,sizeof(c.data));
for(int i=0; i<2; i++)
for(int j=0; j<2; j++)
for(int k=0; k<2; k++)
{
c.data[i][j]+=(a.data[i][k]%mod)*(b.data[k][j]%mod);
c.data[i][j]%=mod;
}
return c;
}
matrix pow(matrix a,ll b)
{
matrix ans=I;
while(b)
{
if(b&1)
{
ans=multi(ans,a);
b--;
}
b>>=1;
a=multi(a,a);
}
return ans;
}
ll pow2(ll a,ll b)
{
ll ans=1;
while(b)
{
if(b&1)
{
ans*=a;
ans%=mod2;
b--;
}
b>>=1;
a*=a;
a%=mod2;
}
return ans;
}
int main()
{
ll aa,bb,an,bn,n;
while(scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&n)!=EOF)
{
matrix a= {1,1,1,0};
matrix ans;
ans=pow(a,n);
bn=ans.data[0][1];
an=ans.data[1][1];
//cout<<"a: "<<an<<"  b: "<<bn<<endl;
ll ans2=((pow2(aa,an)%mod2)*(pow2(bb,bn)%mod2))%mod2;
printf("%lld\n",ans2);
}
return 0;
}