Z变换与系统函数


        A Z变换（英文：z-transformation）可将时域信号（即：离散时间序列）变换为在复频域的表达式。它在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，在数字信号处理、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。

        B Z变换具有许多重要的特性：如线性、时移性、微分性、序列卷积特性和复卷积定理等等。这些性质在解决信号处理问题时都具有重要的作用。其中最具有典型意义的是卷积特性。由于信号处理的任务是将输入信号序列经过某个(或一系列各种）系统的处理后输出所需要的信号序列，因此，首要的问题是如何由输入信号和所使用的系统的特性求得输出信号。通过理论分析可知，若直接在时域中求解，则由于输出信号序列等于输入信号序列与所用系统的单位抽样响应序列的卷积和，故为求输出信号，必须进行繁琐的求卷积和的运算。而利用Z变换的卷积特性则可将这一过程大大简化。只要先分别求出输入信号序列及系统的单位抽样响应序列的Z变换，然后再求出二者乘积的反变换即可得到输出信号序列。这里的反变换即逆Z变换，是由信号序列的Z变换反回去求原信号序列的变换方式。

        C Z变换的存在充分必要条件是：级数绝对可和。使级数绝对可和的成立的所有Z值称为Z变换域的收敛域。由Z变换的表达式及其对应的收敛域才能确定原始的离散序列。

        D Z变换的特点：1 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点；2 在收敛域内没有极点，X(Z)在收敛域内每一点上都是解析函数。

与傅里叶变换的关系：

        E Z变换是傅里叶变换的推广，当傅里叶变换不存在时，Z变换所定义的幂级数可能收敛。傅里叶变换是在单位圆上的Z变换，也就相当于在概念上把线性频率轴缠绕在单位圆上，因此傅里叶变换在频率上的固有周期性就自然得到了。

        F 系统函数。它是单位脉冲响应的z变换。单位圆上的系统函数z=e就是系统的频率响应。所以可以用单位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。

几种常见的系统：

        1 因果系统--单位脉冲响应h(n)是因果系统，其系统函数H(z)具有包括无穷点的收敛域。

        2 稳定系统--单位脉冲响应h(n)满足绝对可和（Z变换存在的条件是：级数绝对可和。使级数绝对可和的成立的所有Z值称为Z变换域的收敛域）。因此稳定系统的H(z)必须在单位圆上收敛，即H(e)存在。

        3 因果稳定系统--最普遍最重要的一种系统，其系统函数H(z)必须在从单位圆到无穷远处的整个领域收敛，即即1≤∣Z|≤∞ ，H（z）的全部极点在单位圆以内。因此，因果稳定系统的系统函数的全部极点必须在单位圆以内（若极点在单位圆外部，那么将导致系统在1≤∣Z|≤∞ 处不满足收敛，就不是因果稳定性系统）。