Matlab中FFT快速傅里叶变换函数的应用及其物理意义学习

    在Matlab中fft就是一个现成的函数，看别人的代码模仿着用了，但是不懂FFT画出来的图什么意思？本文对这篇博文中分析的例子进行了学习。

    FFT（Fast Fourier Transformation）为一阶快速傅里叶变换函数，在数字信号处理中有着广泛的应用，变换结果为复数。有些信号在时域上很难看出变化特征，但如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。FFT把时域信号变换到频域上，直观的看各频率上的信号强弱。 

    一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍。采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。做FFT分析时，幅值大小与FFT选择的点数有关，但是不影响分析结果。 

    假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。

    由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。

    假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=sqrt(a*a+b*b)，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：

An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)                                                    (1)
即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
    由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。

 

    假设有一个信号由如下三个分量组成：1）一个2V的直流分量；2）一个频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号；3）一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。其数学表达如下：
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。 
    
    假设以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。由前面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，可知：每两个点之间的间距为1Hz，第n个点的频率就是n-1。信号S有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示。


 

    从图中可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有较大值。分别将这三个点附近的数据拿上来细看：

 

用Z = fft(S);

                       Y                                                 模值Z

第1个点：       512                                              512

第2个点：       5.2686e-16- 1.4128e-13i           1.4129e-13

第3个点：       2.1411e-15- 1.1718e-13i           1.1720e-13

 

第50个点：     1.8103e-12- 1.3394e-12i           2.2519e-12

第51个点：     2.9281e+02+ 2.4843e+02i         384

第52个点：     9.3193e-13- 2.0432e-12i           2.2457e-12

 

第75个点：     1.0239e-12+ 5.0058e-14i          1.0251e-12

第76个点：     -1.8505e+02- 5.1209e+01i        192.0000

第77个点：     -7.2171e-13- 2.2549e-13i          7.5612e-13

 

用Z =fft(S,N);

                    
Y                                              模值Z

第1个点：    512.0000                                   512.0000

第2个点：    -2.6195e-14- 1.4162e-13i         1.4402e-13

第3个点：    -2.8586e-14- 1.1898e-13i         1.2237e-13

 

第50个点：  -6.2076e-13- 2.1713e-12i         2.2583e-12

第51个点：  3.3255e+02 - 1.9200e+02i        384.0000

第52个点：  -1.6707e-12- 1.5241e-12i         2.2614e-12

 

第75个点：  -2.2199e-13- 1.0076e-12i         1.0317e-12

第76个点：  3.4386e-12 + 1.9200e+02i        192.0000

第77个点：  -3.0263e-14+ 7.5609e-13i        7.5670e-13

 

很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。

 

接着，我们来计算各点的幅度值。由公式（1）可知，给定模值An，它对应的幅度为：An/(N/2)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。因此，直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。

 

然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192,
332.55)=-0.5236，结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192,3.4386e-12)=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。 

总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。

 

注意：

Z = fft(S,N); 
Z = fft(S);
计算出来的精确的Z值不一样。

subplot(2,1,2),plot(abs(fftshift(fft(S)))),title('S fftshift');



 

 参考：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_640029b301010xkv.html 

http://wenku.baidu.com/link?url=jv0SbOANX0zXbvwlZW5o0Hoi3sviFPrNb4FbDBjE0kZXQg7Dked3oMYMxFHWXr3btNkCefCjnivo-OiQr9rizPWV2Q5rcrYALm5-Ibkgapq