二叉搜索树

二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高，O(log(n)).

算法实现

1 二叉排序树的查找算法

2 在二叉排序树插入结点的算法

3 在二叉排序树删除结点的算法

4 二叉排序树性能分析

查找算法

在二叉排序树b中查找x的过程为：

若b是空树，则搜索失败，否则：

若x等于b的根结点的数据域之值，则查找成功；否则：

若x小于b的根结点的数据域之值，则搜索左子树；否则：

查找右子树。

Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &*p){

//在根指针T所指二叉排序树中递归地查找其关键字等于key的数据元素，若查找成功，

//则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE，否则指针指向查找路径上访问的最后

//一个结点并返回FALSE，指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL

if(!T){ p=f; return FALSE;} //查找不成功

else if EQ(key, T->data.key) {P=T; return TRUE;} //查找成功

else if LT(key,T->data.key)

return SearchBST(T->lchild, key, T, p); //在左子树中继续查找

else return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子树中继续查找

pascal语言实现

type

Link = ^tree;

Tree = record

D :longint;

Left :link;

Right :link;

End;

function search(n :longint;t :link):boolean;

Begin

If t^.d < n then begin

If t^.right = nil then exit(false) else exit(search(n,t^.right));

End;

If t^.d > n then begin

If t^.left = nil then exit(false) else exit(search(n,t^.left));

End;

Exit(true);

End;

插入算法

向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法，过程为：

若b是空树，则将s所指结点作为根结点插入，否则：

若s->data等于b的根结点的数据域之值，则返回，否则：

若s->data小于b的根结点的数据域之值，则把s所指结点插入到左子树中，否则：

把s所指结点插入到右子树中。

/*当二叉排序树T中不存在关键字等于e.key的数据元素时，插入e并返回TRUE，否则返回FALSE*/

Status InsertBST(BiTree &T, ElemType e)

{

if(!SearchBST(T, e.key, NULL,p)

{

s=(BiTree *)malloc(sizeof(BiTNode));

s->data = e; s->lchild = s->rchild = NULL;

if(!p) T-s;

//被插结点*s为新的根结点

else if LT(e.key, p->data.key) p->lchld = s;

//被子插结点*s为左孩子

else ->rchild = s;

//被插结点*s为右孩子

return TRUE;

}

else

return FALSE;

//树中已有关键字相同的结点，不再插入

}

pascal代码:

procedure push(n :longint;var t:link);

Var P,q :link;

Begin

If t^.d < n then begin

If t^.right = nil then begin

New(p);

P^.d := n;

P^.right := nil;

P^.left := nil;

T^.right := p;

End else push(n,t^.right);

End else begin

If t^.left = nil then begin

New(p);

P^.d := n;

P^.right := nil;

P^.left := nil;

T^.left := p;

End else push(n,t^.left);

End;

End;

情况讨论

在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：

若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。

若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树或右子树即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。

若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左子树，*s为*f左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）。在二叉排序树上删除一个结点的算法如下：

Status DeleteBST(BiTree &T, KeyType key){

//若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素，并返回

//TRUE；否则返回FALSE

if(!T) return FALSE; //不存在关键字等于key的数据元素

else{

if(EQ(key, T->data.key)) {return Delete(T)}; 找到关键字等于key的数据元素

else if(LT(key, T->data.key)) return DeleteBST(T->lchild, key);

else return DeleteBST(T->rchild, key);

}

}

Status Delete(BiTree &p){

//从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树

if(!p->rchild){ //右子树空则只需重接它的左子树

q=p; p=p->lchild; free(q);

}

else if(!p->lchild){ //左子树空只需重接它的右子树

q=p; p=p->rchild; free(q);

}

else{ //左右子树均不空

q=p;

s=p->lchild;

while(s->rchild){

q=s;

s=s->rchild

} //转左，然后向右到尽头

p->data = s->data; //s指向被删结点的“前驱”

if(q!=p)

q->rchild = s->lchild; //重接*q的右子树

else

q->lchild = s->lchild; //重接*q的左子树

free(s);

}

return TRUE;

}