约瑟夫问题

假设下标从0开始，0，1，2 .. m-1共m个人，从1开始报数，报到k则此人从环出退出，问最后剩下的一个人的编号是多少？

现在假设m=10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k=3

第一个人出列后的序列为：

0 1 3 4 5 6 7 8 9

即:

3 4 5 6 7 8 9 0 1（*）

我们把该式转化为:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 (**)

则你会发现: （(**)+3）%10则转化为(*)式了

也就是说，我们求出9个人中第9次出环的编号，最后进行上面的转换就能得到10个人第10次出环的编号了

设f(m,k,i)为m个人的环，报数为k，第i个人出环的编号，则f(10,3,10)是我们要的结果

当i=1时， f(m,k,i) = (m+k-1)%m

当i!=1时， f(m,k,i)= ( f(m-1,k,i-1)+k )%m

所以程序如下：

int Josephu(int m,int k,int i){

if(i==1)
return (m+k-1)%m;
else
return (Josephu(m-1,k,i-1)+k)%m;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i)
cout<<"第"<<i<<"次出环："<<Josephu(n,3,i)<<"\n";
system("pause");
return 0;
}

运行结果如下图所示



附：计算最后一个出环的非递归算法实现：

int Josephu2(const unsigned m, const unsigned k){
if(m<1||k<1)
return -1;
int *f = new int[m+1];
f[0]=f[1]=0;

for(unsigned j=2; j<=m;++j)
{
f[j]=(f[j-1]+k)%j;
}

delete[]f;
}