【最长回文子串】Manache算法，O(N)时间复杂度

问题描述：



找一个字符串里的最长回文子串

暴力法：定中心，从0长度向两端扩展的方法O(n^2), n >= 10^5还是超时，故只能《O(n^2)

Manacher's 算法：定中心，从p[r],(已能确定以该点为中心两端是回文的长度开始), 向两端扩展，时间复杂度, O(n)

算法如下：

示意图：



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r是当前中心

cen的上一个回文串的中心

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定义：

cen：当前匹配的上一个回文串的中心点

p[i]: 以i为中心两端满足回文的长度

r：从0到len-1遍历

l：r关于cen的对称点

绿色：表示已经确定满足回文的部分

目标： 求P数组

步骤：

0. r 遍历 判断是否小于cen+p[cen]，是则下一步，否则p[r]=0, （在不在上一个回文串可达的内部，利用的就是已经匹配的回文串左右相等）

1. 确定p[r]已经能确定的大小，(在上一个回文串可达的内部，利用的就是已经匹配的回文串左右相等）

    1> 蓝色情况：p[r] = cen+p[cen]-r, 左边的回文长度在边界外，=  r 到边界的距离

    2> 红色情况：p[r] = p[l]，在当前cen+-p[cen]两端边界内

2. 在p[r]的基础上，while(str[r-p[r]]==str[r+p[r]])p[r]++,

    This is the key!!!!!!!p[r]不是都从0开始的

    如果是普通的方法，
    以r为中心，向两端扩展则时间复杂度为O(n^2) 

原理实现：

#include<string>
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

void solve(string s) {
int l, r;
int len = s.length();
int cen = 0;
vector<int> p;
p.push_back(0);

for (r = 0; r < len; r++) {
printf("cen = %d, pcen = %d, r = %d\n", cen, p[cen], r);
p.push_back(0);
int cenR = cen + p[cen];
if (r <= cenR) {
l = 2 * cen - r;
p[r] = p[l] < cenR - r ? p[l] : cenR - r;
} else {
p[r] = 0;
}

// 这里是关键，如果从r为中心长度为0开始向两边扩展，则复杂度为O(n^2), 这里从p[r]开始扩展
while((r-p[r]-1>=0) && (r+p[r]+1<len) && (s.at(r - p[r] -1) == s.at(r + p[r] + 1))) p[r]++;

if (r + p[r] >= cenR) {
cen = r;
}
}

cout << s << endl;
int i;
for (i = 0; i < len; i++) {
printf("%d ", p[i]);
} printf("\n");
}

int main() {
solve("11111111111");
return 0;
}

应用：