3D图形学（一）：三维几何学基础（2）：向量点乘

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1.向量点乘公式推导和几何解释

01.向量点乘(dot product)是其各个分量乘积的和，公式：



用连加号写：



02.几何解释：

点乘的结果是一个标量，等于向量大小与夹角的cos值的乘积。

a•b = |a||b|cosθ

如果a和b都是单位向量，那么点乘的结果就是其夹角的cos值。

a•b = cosθ

03.推导过程：

假设a和b都是二维向量，θ1是a与x轴的夹角，θ2是b与x轴的夹角，向量a与b的夹角θ等于θ1 - θ2.

a•b = ax*bx + ay*by

= (|a|sinθ1) (|b| * sinθ2) + (|a| * cosθ1) * (|b| * cosθ2)

= |a||b|(sinθ1*sinθ2 + cosθ1*cosθ2)

=|a||b|(cos(θ1-θ2))

= |a||b|cosθ

2.点乘交换率和分配率的推导

01.交换率





02.分配率





注：更多内容参见：<3D math primer for graphics and game development second edition>