ACM-韩信点兵【中国剩余定理-孙子定理】


题目34---韩信点兵

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难度：1

描述

相传韩信才智过人，从不直接清点自己军队的人数，只要让士兵先后以三人一排、五人一排、七人一排地变换队形，而他每次只掠一眼队伍的排尾就知道总人数了。输入3个非负整数a,b,c ，表示每种队形排尾的人数（a<3,b<5,c<7），输出总人数的最小值（或报告无解）。已知总人数不小于10，不超过100 。

输入

输入3个非负整数a,b,c ，表示每种队形排尾的人数（a<3,b<5,c<7）。例如,输入：2 4 5

输出

输出总人数的最小值（或报告无解，即输出No answer）。实例，输出：89

样例输入

2 1 6样例输出

41

 

我的答案：

#include<iostream>

using namespace std;

int hanxindianbing(int a,int b,int c){

for(int i = 7+c; i <100;i=i+7)

{

if(i%3==a&&i%5==b)

return i;

}

return 0;

}

int main(){

while (1){

int a,b,c;

cin>>a>>b>>c;

if(a<3&&b<5&&c<7)

cout<<hanxindianbing(a,b,c)<<endl;

}

}

标准答案如下：

01.

#include<iostream>

02.

using

 

namespace

 

std;

03.

int

 

main()

04.

{

05.

int

 

a,b,c;

06.

cin>>a>>b>>c;

07.

int

 

n=(a*70+b*21+c*15)%105;

08.

if

(n>100||n<10)
cout<<

"No
answer"

<<endl;

09.

else

 

cout<<n<<endl;

10.

}

 这道题用的是中国剩余定理，也称孙子定理从而简化了代码，提高了程序的效率。

其实这道题简化为已知三个互质的数A,B,C除某个数X的余数a，b，c和这三个互质的数，求这个X的最小值

如果写成数学公式就是：

X%A=a;

X%B=b;

X%C=c;

解决问题的方法是首先求出一个尽可能小的数 Y ，使得Y分别除以三个质数时，得到的余数恰好为a，b，c。然后Y再除以三个互质的数的最小公倍数G，余数即为X。

所以首先要找到这个数Y：

找到这个数Y的方法是先找到三个数M,N,P：M分别除以三个质数时，得到的余数为a,0,0；N时，余数为0,b,0;P时，余数为0,0,c。

如此，Y = M+N+P。就可以得到想要的Y。

然后是找到数M,N,P的方法：

这里举例找数M的方法，其它同理：若要使M%B==M%C=0、M%A=a，则M必为B与C的公倍数

所以先求出B与C的公倍数T，然后用T和T的倍数与A相除，直到找到余数为1的较小值Q（不必要求是最小值，只是尽量小方便运算），则M = Q*a；

同理找出另外两个较小值R,F，则N=R*b，P=F*c。

所以Y=Q*a+R*b+F*c；

则X=(Q*a+R*b+F*c)%G;

当互质的数的数量变为4个，5个，6个，余数有变化等情况，皆可运用上述定理。

PS：

1 注意题目是否有解，数与数之间必须互质

2 如果数与数之间非互质，则必须符合实际情况，如 3除余2,9除余4的条件是不可能的，因为9除余4,3除4余1，而不是余2，则题目不成立。

3 G必须为最小公倍数