hdu 5667 Sequence（BC——矩阵快速幂）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5667

Sequence

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)

Total Submission(s): 1230    Accepted Submission(s): 395

Problem Description

    Holion
August will eat every thing he has found.

    Now
there are many foods,but he does not want to eat all of them at once,so he find a sequence.

fn=⎧⎩⎨⎪⎪1,ab,abfcn−1fn−2,n=1n=2otherwise

    He
gives you 5 numbers n,a,b,c,p,and he will eat fn foods.But
there are only p foods,so you should tell him fn mod
p.

 

Input

    The
first line has a number,T,means testcase.

    Each
testcase has 5 numbers,including n,a,b,c,p in a line.

    1≤T≤10,1≤n≤1018,1≤a,b,c≤109,p is
a prime number,and p≤109+7.

 

Output

    Output
one number for each case,which is fn mod
p.

 

Sample Input

1
5 3 3 3 233

 

Sample Output

190

 

Source

BestCoder Round #80

题目大意：Lcomyn 是个很厉害的选手,除了喜欢写17kb+的代码题,偶尔还会写数学题.他找到了一个数列:

f_n=\left\{\begin{matrix} 1 ,&n=1 \\ a^b,&n=2 \\ a^bf_{n-1}^cf_{n-2},&otherwise \end{matrix}\right.f​n​​=​⎩​⎨​⎧​​​1,​a​b​​,​a​b​​f​n−1​c​​f​n−2​​,​​​n=1​n=2​otherwise​​

\ \ \ \    他给了你几个数:nn,aa,bb,cc,你需要告诉他f_nf​n​​模pp后的数值.

解题思路：

观察递推式我们可以发现，所有的fi都是a的幂次，所以我们先只对指数进行处理，我们会得到一个递推公式xn=b+xn-1*c+xn-2;

由于数据量很大，所以我们转换成两个矩阵的乘法问题。

A矩阵：b 0 b

B矩阵：c 1 0

        1  0 0

        1  0 1

A*B两个矩阵相乘就可以实现2我们得到的递推公式。这样指数就处理完成了，最后在直接求a的矩阵的最左上角C.a[0][0]次幂即为最终结果。

详见代码。

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

#define LL long long

LL n,a,b,c,p;
struct node
{
LL a[3][3];
} A,B;

node cheng(node A,node B)
{
node C= {0,0,0,0,0,0,0,0,0};
for (int i=0; i<3; i++) //A的行
{
for (int j=0; j<3; j++) //B的列
{
for (int k=0; k<3; k++)
C.a[i][j]=(C.a[i][j]+A.a[i][k]*B.a[k][j])%(p-1);
}
}
return C;
}

node pow(node B,LL t)//矩阵快速幂
{
node s= {1,0,0,0,1,0,0,0,1};
while (t)
{
if (t%2==1)
s=cheng(s,B);
B=cheng(B,B);
t/=2;
}
return s;
}

LL mul(node A,node B)//求最后结果的指数
{
LL anx=A.a[0][0]*B.a[0][0]+A.a[0][1]*B.a[1][0]+A.a[0][2]*B.a[2][0];
return anx;
}

LL pow1(LL a,LL anx)
{
LL s=1;
while (anx)
{
if (anx%2==1)
s=(s*a)%p;
a=(a*a)%p;
anx/=2;
}
return s;
}

int main()
{
int T;
LL anx,ans;//anx表示最终结果的指数，ans表示最终所求的结果
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
cin>>n>>a>>b>>c>>p;
if (n==1)
{
printf ("1\n");
continue;
}
A.a[0][0]=b,A.a[0][1]=0,A.a[0][2]=b;//xn-1,xn-2,b
B.a[0][0]=c,B.a[0][1]=1,B.a[0][2]=0;
B.a[1][0]=1,B.a[1][1]=0,B.a[1][2]=0;
B.a[2][0]=1,B.a[2][1]=0,B.a[2][2]=1;
B=pow(B,n-2);
anx=mul(A,B);
ans=pow1(a,anx);
printf ("%lld\n",ans);
}
return 0;
}