矩形嵌套 ————DAG（有向无环图）上的动态规划

矩形嵌套

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难度：4

描述有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转X90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。

输入第一行是一个正正数N(0<N<10)，表示测试数据组数，

每组测试数据的第一行是一个正正数n，表示该组测试数据中含有矩形的个数(n<=1000)

随后的n行，每行有两个数a,b(0<a,b<100)，表示矩形的长和宽
输出每组测试数据都输出一个数，表示最多符合条件的矩形数目，每组输出占一行
样例输入

1
10
1 2
2 4
5 8
6 10
7 9
3 1
5 8
12 10
9 7
2 2

样例输出

5

矩形嵌套问题。

因为一个矩形无法直接或间接的嵌套在自己内部。所以叫有向无环图。

任务是求有向无环图的最长路径，可以用d(i)来表示从结点i出发的最长路长度，第一步只能走到它的相邻点假设为 j，

因此 d(i) = max{d(j) + 1 (i, j) ∈ E (边集)}

这样的话，我们可以尝试用记忆化搜索的方式来计算上式。

但是我们应该先把图建立出来，用邻接矩阵来表示，然后就记忆化搜索。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define MAXN 1010
using namespace std;

int x[MAXN], y[MAXN], G[MAXN][MAXN],d[MAXN];
int n;

int dp(int i)
{
int& ans = d[i]; // ans 是一个引用，对ans操作就是对d[i]操作
if(ans > 0) return ans; // 如果已经搜索过直接返回，减少搜索次数。
ans = 1;    //如果没有搜索，最小值为1 即就它自己可以嵌套。
for(int j = 0; j < n; j++)
{
if(G[i][j])
ans = max(ans, dp(j) + 1);//判断动归方程，记忆化搜索
}
return ans;
}

int main()
{
int t, ans, i, j;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
for(i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
if(x[i] > y[i])
{
int k;
k = y[i];
y[i] = x[i];
x[i] = k;
}
}
memset(G, 0, sizeof(G));
for(i = 0; i < n; i++)
{
for(j = 0; j < n; j++)
{
if(x[i] < x[j] && y[i] < y[j])
G[i][j] = 1;  // G为邻接矩阵，G[i][j]表示第i个矩阵可以嵌套在第 j个矩阵里面
}
}
memset(d,0,sizeof(d)); // d数组记录的是每个矩阵能嵌套的最大矩阵
ans = 0;
for(i = 0; i < n; i++)
{
if(dp(i) > ans)
ans = dp(i);
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}